Проекционная и видовая матрицы

Неожиданно для себя обнаружил, что совершенно не понимаю как работают проекционная и видовая матрицы.

Как бы высокоуровнево пишут, что проекционная задает способ проецирования (ортография, перспектива) и пространство отсечения (куб или усеченная пирамида).
Видовая матрица отвечает за положение объекта перед камерой.

У меня есть вот такой простенький вертексный шейдер (видовая матрица пока что просто единичная)

attribute vec4 Position;
uniform mat4 Projection;
uniform mat4 ModelView;
void main()
{
  gl_Position = Projection * ModelView * Position;
}

так вот, иду я значит в документацию, например сюда https://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/windows/desktop/dd373965(v=vs.85).aspx и смотрю как стряпается ортографическая матрица, переношу ее, закидываю в нее параметры ширины и высоты экрана. На экране при этом рисуется совершенно абсурдная бурда.

FordPerfect
Ну, давайте вместе посмотрим, и если что вы меня поправите. Смотрите, у меня есть радиус-вектор

x, y, z, w

и проекционная матрица

nx, 0,  0,  tx
0,  ny, 0,  ty
0,  0,  nz, tz
0,  0,  0,  1

умножаем матрицу на вектор,  столбцы на строки

{nx * x + 0 * y + 0 * z + 0 * w}, 
{0 * x + ny * y + 0 * z + 0 * w},
{0 * x + 0 * y + nz * z + 0 * w},
{tx * x + ty * y + tz * z + 1 * w}

или в сокращенной записи

{nx * x}
{ny * y}
{nz * z}
{tx * x + ty * y + tz * z + 1 * w}

Такая вот ерунда выходит. И ведь просто ладно бы если я где-то при этом накосячил, но ведь при отрисовке вообще какая-то ересь получается.

там есть красивая картинка где-то посередине

http://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/perspecti… line-clipping

Fennec
Математически спецификация OpenGL сформулирована в терминах вектор-столбцов:
\(A= \begin{bmatrix} n_x & 0 & 0 & t_x\\ 0 & n_y & 0 & t_y\\ 0 & 0 & n_z & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}= \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{bmatrix}\)
\(A \cdot \mathbf{b} = \begin{bmatrix} n_x x + t_x w\\ n_y y + t_y w\\ n_z z + t_z w\\ w \end{bmatrix}\)

FordPerfect
Окей, тогда у меня такой вопрос:

получается, что при таком представлении мы не можем умножить вектор на матрицу?

codingmonkey
минуту, сейчас гляну статью

Fennec
Ну да, вектор-столбец 4x1 на матрицу 4x4 множится только в одном порядке: матрица*вектор. Обратно - не определено.

Другое дело, что GLSL это позволяет, превращая вектор в строку (и обратно):
https://en.wikibooks.org/wiki/GLSL_Programming/Vector_and_Matrix_… ons#Operators

FordPerfect
то есть выходит GLSL делает эти операции коммутативными?

Тогда выходит, что ортографическая матрица - это просто матрица масштабирования и перемещения?

и все же, в моем случае получается такая история: например возьмем разрешение экрана 800х600, а начало координат хочу чтобы было в левом верхнем углу, тогда параметры должны быть

float left = 0;
float right = width;
float bottom = -height;
float top = 0;
float far = -1;
float near = 1;

    1 / 400,       0,           0,    -1,
    0,             1 / -300,    0,    -1,
    0,             0,           1      0,
    0,             0,           0,     1

сжимаем ось х в 400 раз
сжимаем ось у в 300 раз
ось z не трогаем

но по 2 осям отступаем на 1 назад (кстати внезапно стало понятно, зачем такие значения для far и near). Вопрос: для чего? В смысле, я же хотел их подвинуть в совсем другое место, что я делаю не так?

Fennec
>но по всем трем осям отступаем на 1 назад. Вопрос: для чего?
В OpenGL отсечение происходит по \([-1; \, +1] \times [-1; \, +1] \times [-1; \, +1]\). Соответственно к этим координатам и приводится.

Строго говоря, отсечение происхожит в однородных координатах (clip space):
-w < x < +w
-w < y < +w
-w < z < +w

https://www.opengl.org/wiki/Vertex_Post-Processing

Fennec
>то есть выходит GLSL делает эти операции коммутативными?
Нет.
Справа:
\(A \cdot b\)
Слева:
\((b^T \cdot A)^T=A^T \cdot b\)

А вообще, это ж не секретные вещи и они есть в OpenGL Programming Guide: The Official Guide to Learning OpenGL (в народе "Red Book").

FordPerfect
О, книжка.

Окей, спасибо большое за все объяснения и ссылки!

На самом деле нет разницы какой математикой определять видимые вершины (которые попадают в область камеры), но системе нужно как то определить запускать ли фрагментный шейдер или переходить к следующего примитиву в вершинном, и было принято решение ввести стандарт: программист любым способом должен привести координаты вершины в локальные координаты камеры, и если после этого у всех трех координат полигона хотя бы одна компонента x,y,z не входят в диапазон от -w до w, тогда фрагментный шейдер вообще не запускается, поскольку все три вершины полигона лежат вне области камеры, а значит примитив не виден. Это касается и оргогональной и перспективной проекции. Вот русское подробное описание общепринятой математики такого преобразования координат, где объясняется что происходит с "w" компонентой вектора и почему параметры в матрице именно такие - http://gamesmaker.ru/programming/directx/virtualnaya-kamera-persp… ya-proekciya/ (на сайте описывается решение в DirectX которое по сути ничем не отличается от OpenGL).

Phisix
И вам большое спасибо за информацию.

Похоже я разобрался.