Матрица перехода от одного множества точек к другому
Автор: Александр Санников
Иногда в программировании возникает задача - найти такую матрицу линейного преобразования, которая один меш(или просто множество точек) как можно ближе переводит к другому. Например, при моделировании деформаций иногда требуется найти такую матрицу трансформации, которая переводит тело из известного недеформированного состояния как можно ближе к также известному деформированному.
Давайте формализуем задачу. Пусть x0i - множество из N "исходных" точек. x1i - множество из N "конечных" точек. Будем полагать, что центры масс обоих множеств уже перенесены в начало координат. Таком образом, требуется найти такую матрицу A, которая минимизирует функцию
F(A) = sum[i = 0..N](A * x0i - x1i)2.
Смысл "на пальцах" - сумма разниц между "преобразованными" точками A * x0i и их целевыми положениями x1i должна быть минимальна.
F(A) - квадратична функция, у неё единственный минимум, который можно найти, приравняв dF(A)/dAi,j к нулю. Чтобы это проделать, придётся вспомнить немного тензорного анализа, хотя ответ достаточно прост и чтобы его перенести в код, ничего вспоминать не надо. Тем не менее, интересующиеся могут взглянуть под спойлер:
