Лекция #26. Spherical Harmonics [Лектор - xmvlad]

Автор: Vladislav Gusev

оригинальный лог:  http://www.everfall.com/paste/id.php?20f4zp1hf2y9

<MiF> давай
<MiF> вещай уже
<xmvlad> надо тогда дисклеймер хотя бы написать чтоб касег не волновался..
<Zeux> пиши свой дисклеймер
<xmvlad> ладно в общем :) данное повествование является разжовыванием теоретических основ SH для тех кто как и
  я пропускал матан, в достаточно мере что бы их не знать :)
<xmvlad> 1. линейное пространство
<xmvlad> в общем линейным пространством является все что угодно удовлетворяющее следующим аксиомам:
<xmvlad> http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
<xmvlad> 1. ассоциативность сложения векторов то есть (a + b) + c = a + (b + c)
<xmvlad> 2. коммутативность a + b = b + a
<xmvlad> 3. существования нуля, то есть для каждого элемента v принадлежащему V (векторному пространству)
  существует элемент z такой что v + z = v
<xmvlad> и т.д далее для жаждущих ссылка в википедию
<xmvlad> суть в следующим: одним из примеров линейного пространства может являтся функциональное пространство
<xmvlad> то есть если мы возьмем множество векторных функций f(x), g(x)... Fi(x), то они так же будут являтся линейным пространством
<xmvlad> http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_space
<xmvlad> теперь вводим в данном линейном пространстве скалярное произведение
<xmvlad> аксиомы скалярного произведения http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space, то есть проще говоря
  это обобщение "геометрического" dot product для линейных пространств
<xmvlad> по просьбе cppg: http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_пространство
<cppg> добавлю, перевод: http://ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_пространство
<xmvlad> http://ru.wikipedia.org/wiki/Скалярное_произведение
<xmvlad> теперь, одна теорема которая нам нужна
<xmvlad> Пусть S подпространство в эвклидовом пространстве V, и (e1, ..., ei) ортонормированный базис для S. Если x принадлежит V, тогда элемент s = sum(i = 1, n) (x, ei) * ei - проекция x на S
<xmvlad> значит такая теорема: проекция x на S ближе к x (ближе в смысле нормы), чем любой другой элемент принадлежащий S
<xmvlad> все, с мутью покончили
<xmvlad> значит берем функциональнольно пространство и вводим в нем следующее скалярное произведение:
<xmvlad> (f, g) = integral f(x) * g(x) dx
<xmvlad> как можно убедится удовлетворяет всем аксиомам для скалярного произведения
<xmvlad> базисом этого функционального пространства могут являтся - сферические гармоники
<xmvlad> сферические гармоники принадлежат к семейству ортогональных полиномов
<xmvlad> то есть, (f, g) = 0 если f != g, и (f, f) = 1
<xmvlad> SH(spherical harmonics) задаются на поверхности сферы, то есть x = f(a, b), где a,b - сферические
  координаты некоторой точки на поверхности сферы
<xmvlad> тогда, любую функцию заданную на поверхности сферы мы можем задать линейной комбинацией базисных
  функций, то есть
<xmvlad> f_aprox(a, b) = s0 * y1 + s1 * y1 + s2 * y2 + .. + si * yi
<xmvlad> если мы берем конечное число гармоник, то есть "обрезаем" высокие частоты мы получаем лишь некоторую
  апроксимацию
<xmvlad> наша f_aprox и будет проекцией f (элемента функционального пространства) в базис SH
<xmvlad> при этом в соответствии с теоремой, эта проекция является наилучшим приближением f в базисе SH
<xmvlad> проще говоря, что нам надо - посчитать s0.. si, для этого в соответсвии с определением проецируем f на
  базис SH, то есть считаем si = (f, yi)  для i = 0..n
<xmvlad> или по нашему определению скалярного умножения si = интеграл по поверхности сферы (f(s) * yi(s)) ds
<xmvlad> зная si, мы можем восстановить нашу функцию f, некоторую апроксимацию, выше написана формула
<xmvlad> но это не главное
<xmvlad> если у нас есть две функции f и g, которые мы спроецировали в базис SH тогда
<xmvlad> в силу ортогональности базисных функций то есть все термы i != g равны 0, остальные i = i, 1
<xmvlad> интеграл по поверхности сферы f(s) * g(s) ds = fs0 * gs0 + fs1 * gs1 + .. + fsi * gsi
<xmvlad> то есть просто дот продукт коэффициентов
<xmvlad> как это обычно используют
<xmvlad> возьмем меш, зададим вокруг каждой вершины функцию f(s), если c направления s - приходит лучик, f(s)
  == 1 если нет f(s) == 0
<xmvlad> то есть задаем для каждой вершины объекта oclussion для всех возможных направлений (поверхность сферы)
<xmvlad> вторая функция, g, задает "источник освещения", то же самое только для каждого направления s g(s) == 1
  есть лучик g(s)== 0 нет лучика
<xmvlad> теперь если взять интеграл по поверхности сферы произведения этих двух функий f и g, получим
  количество освещения достигающего вершину
<xmvlad> а интеграл это всего лишь дот продукт как было выше расписано
<xmvlad> таким образом считаем во время препроцессинга повершинно f
<xmvlad> раз в кадр считаем проекцию освещения в SH базис - g, а затем в шейдере - дот продукт - количестов
  освещения (интеграл по поверхности сферы)

14 июня 2006 (Обновление: 18 июня 2006)

Комментарии [1]