От принципа Д'Аламбера до задачи о линейном дополнении (комментарии) (6 стр)

>>ну если число точек бескончено, то твое n * E * delta_x все равно образует неопределенность inf * 0, не так ли?
Слушай, почитай внимательно доказательство, это ж матан, там такие игрища с бесконечностями на каждом шагу. Разные бесконечности бывают, с разным порядком "бесконечности". Просто с ними обращаться надо аккуратно и доказывать как одна бесконечность относится к другой.

Просто для того что бы понять на сколько человеческая интуиция беспомощна с бесконечнотями: я могу тебе доказать что на отрезке длинны 1 столько же точек сколько на квадрате стороны 1. Это равномощная континентуальная бесконесность.

tikka

>>я могу тебе доказать что на отрезке длинны 1 столько же точек сколько на квадрате стороны 1. Это равномощная континентуальная бесконесность.

:) но это не имеет отношение к делу. У тебя неопределнность, если n бескончено, как и у меня. Я внимательно прочитал докзаательство. Вот тут:
err_t = Sum(err_i) <= n * Max(|err_i|) <= n * Max(|delta_f - df/dx * delta_x|) <= n * E * delta_x = (b-a) * E

n * E * delta_x = (b-a) * E  переход неправомерен, т.к.  n * E * delta_x - неопределенность.

>>n * E * delta_x = (b-a) * E переход неправомерен, т.к. n * E * delta_x - неопределенность.
а как тебе такое:

отрезок [a,b] поделили на n шагов

delta_x - длинна одного шага то есть:
delta_x = (b-a)/n

n * E * delta_x = n * E * (b-a)/n = E * (b-a)

Ну ты же пишешь

n * Max(|err_i|) <= n * Max(|delta_f - df/dx * delta_x|)

т.е. delta_x - это у тебя вектор смещения на том шаге,на котором эррор больше. Ты же не можешь все расстоянеи пройти одним сдвигом - это ж тебе не прямая линия.

поэтому это не тот delta_x, который (b-a)/n

>т.е. delta_x - это у тебя вектор смещения на том шаге,на котором эррор больше
нет  delta_x - это длинна шага по оси аргумента. она постоянна, если мы выбрали n.
рассматриваем f(x).
x - аргумет, скаляр, то есть время, приминительно к модели.

>>поэтому это не тот delta_x, который (b-a)/n
ну ясно.

delta_x - всегда скаляр, время.
f(x) тоже скаляр для упрощения, но может быть вектором, то есть позицией в данный момент.
соответственно delta_f - был бы вектором
df/dx - вектором
df/dx * delta_x - вектор умножить на скаляр = вектор

Max(|delta_f - df/dx * delta_x|) - максимальная длина вектора отклонения касательной от решения из всех всех шагов.

tikka

Ладно, согласен, у тебя все чинно.

Но ничего не мешает тебе применит ту же логику для рада Тейлора.

Поскольку мы получаем каждый шаг из предыдущего разложением функции в ряд тейлора, игнорированием константного члена, и смещением на одинаковое для всех шагов смещение dt, то по индукции ошибка на любом шаге является суммой ошибок разложения тейлора до 1 производной на всех шагах от первого до данного. Обозначив err_j максимальную ошибку одного шага, получим, что совокупная ошибка err <= n *  Max(|err_j|). Заметим, что (1) n выражается через dt: n = (b - a) / dt; и (2) что ошибка разложения тейлора до первой производной на любом шаге err_j равна сумме ряда тейлора начиная со второй производной и дальше. Тогда:

n* Max(|err_j|) = [ (b-a) / dt ] * SUM_{i = 2 ... inf} {[f⁽ⁱ⁾(a_j) / i!] * dtⁱ } =
  (b-a) * SUM_{i = 2 ... inf} {[f⁽ⁱ⁾(a_j) / i!] * dt^{i - 1} }

Считая dt -> 0, заметим, что в данной сумме первое слагаемое имеет порядок малости dt, а все прочие являются бесконечно малыми больших порядков, поэтому вся сумма эквивалента ее первому слагаемому и стремится к 0, значит и n* Max(|err_j|) = (b-a) * SUM -> 0.
Таким образом, при dt->0 совокупная ошибка на любом шаге тоже стремится к 0. Чтд.

Ну подход, вроде правильный. Только здесь надо более сложный анализ проводить. Ты предполагаешь что [f⁽ⁱ⁾(aj) / i!] ограничен, но это не обязательно так.

Вот простой пример:
f(x) = x^-2
f⁽ⁿ⁾(x) = (-1)ⁿ * (n+1)! * (x)^-n-2

в точке x = -1:
f⁽ⁿ⁾(-1) = (-1)ⁿ * (n+1)! * (-1)^-n-2 = (n+1)!

i-тый член разложения:
c_i(-1) = [(i+1)! / i!] * dtⁱ = (i+1) * dtⁱ
устремив i к бесконечности:
c_i(-1) = infinity * 0

Так что про порядок малости i-го члена сложно что то сказать (здесь, вообще говоря, можно, но нет гарантии, что еще какая нибудь функция не сделает западло).
Доказать, в общем случае, для всех непрерывно дифференцируемых функций, может и можно с таким подходом, но как то громоздко все, имхо. Мало того что Тейлора надо вводить в обоснование, так еще и доказательство серьезное.

А теперь подумаем над следующим. То что ты сказал про порядок малости слагаемых - нестрого. Здесь же у нас неограниченное число членов.
Если рассмотреть ряд:
n + n² + n² + n² +...
и устремить n к нулю, ряд все равно будет расходиться (это несложно показать), несмотря на то, что все члены после первого имеют боьший порядок малости.

Вот если рассмотреть геометрический ряд:
с*n + с*n² + с*n³ + с*n⁴ +...
где с - константа, то его сумма будет:
Sum = c * n / (1-n)
и Sum -> 0 при n-> 0
Такой ряд получился бы из ряда Тейлора, если бы производные в членах были ограничены. И тогда можно было бы уже говорить о сходимости.

Прокрутил в свежей голове твое доказательство, и понял как проще показать проблему.
Ты пишешь:
err <= n * Max(|TaylorReminder|) = (n * dt) * Max(|TaylorReminder / dt|) = (b-a) * Max(|TaylorReminder / dt|)
и утверждаешь, что:
|TaylorReminder / dt|-> 0

но Тейлор доказал только стремление к нулю остатка:
TaylorReminder -> 0

в твоем случае получаем:
TaylorReminder / dt -> 0/0
опять неопределенность.

мда, последний мой пост - бред:)
вредно, столько умственным онанизмом заниматься.

>>Ты предполагаешь что [f(i)(aj) / i!] ограничен, но это не обязательно так.

Окей, у меня одна нетчоность - я тебе всунул бесконченый ряд тейлора, а он не обязан вообще существовать. Уточняю: мы используем ряд Тейлора до к-й производной, где к >= 2, с остаточном членом.  Из лагранжевой формы остаточного члена явственно видно, что он имеет следующй порядок малости за к-м членом ряда. Поэтому мы можем рассмотерть конченое число членов ряда вместе с остаточным членом, и сумма их будет эквивалентна по малости следующему члену разложения за 1-м, будь то разложение по 2 производной или остаточный член (если функция не имеет 3 производной). И сумма эта таки будет иметь порядок малости dt^2, и будучи деленной на dt, обретет порядок малости dt и будет вместе с ним стремиться к 0, как я и утверждал выше.

При таком ограниченном разложении все твои сентенции про рост производной на бескончености и расхождение ряда утрачивают смысл.

вообще, мне кажется, мы теряем время. Просто спорить о чем-либо меня утомляет.

>>Окей, у меня одна нетчоность - я тебе всунул бесконченый ряд тейлора, а он не обязан вообще существовать. Уточняю: мы используем ряд Тейлора до к-й производной, где к >= 2, с остаточном членом. Из лагранжевой формы остаточного члена явственно видно, что он имеет следующй порядок малости за к-м членом ряда. Поэтому мы можем рассмотерть конченое число членов ряда вместе с остаточным членом, и сумма их будет эквивалентна по малости следующему члену разложения за 1-м, будь то разложение по 2 производной или остаточный член (если функция не имеет 3 производной). И сумма эта таки будет иметь порядок малости dt^2, и будучи деленной на dt, обретет порядок малости dt и будет вместе с ним стремиться к 0, как я и утверждал выше.

вот теперь согласен с тобой.