- =A=L=X=
- Постоялец
Тема навеяна вот этой: http://www.gamedev.ru/flame/forum/?id=168010 , а точнее теми вещами которые там сейчас начались обсуждаться.
Однако вспомнилось мне вот что. Небезызвестный и, кстати, упомянутый в теме Кантор в своё время пошатнул беспристрастными размышлениями математику так, что то время называют иногда "великим кризисом в математике".
Отголоски тех споров и ныне живы на примере вышеупомянутой темы, точнее того что в ней творится в данный момент, когда началось обсуждение бесконечностей.
Однако... на самом деле всё еще во много раз хуже.
Логика - почему мы уверены что логика охватывает как окружающую нас так и внутреннюю вселенные беспристрастными и универсальными тисками ни на секунду не теряя нигде и никогда своей актуальной сути?
На деле много попыток было сделано изобрести что то эдакое, что ставило бы логику под сомнение, но ничего круче парадоксов изобрести не удавалось. Причём еще раз подчеркну - парадоксы лишь казались нелогичными, но стоило в них пошевелить палкой беспристрастной логики поглубже - и всё вставало на свои места. Логика и математический метод заняли круговую оборону о своей непогрешимости.
Заслуга Кантора наверное в том что он первый обратил внимание, что у логики есть места как говорится "неприменимости". Это удивительно, но она не охватывает полностью всего многообразия форм и явлений. И речь совсем не о том что с логикой не надо соваться в поэззию (по мне так надо бы и туда соваться с логикой), речь о как раз математических методах, где логика пасует и отсутствует даже намёк на какой либо инструмент могущий вернуть ей власть и правдивость.
Т.е. логика - вещь далеко не абсолютная и непогрешимая. Вот из-за этого во время Кантора и бесились все его современники - он ткнул их просто лицом в грязь правды жизни о том что логика - это фигня с ограниченными рамками применения.
Элементарный пример. Я думаю вы все его знаете, но приведу по новой, проводя каждый шаг логические умозаключения и выводы. В отличие от классических парадоксов ни на одном из этих шагов не будет неправильного или противоречивого утверждения. Но итог неправилен и непротиворечив. Те кто сомневаются что в логике есть фундаментальные проблемы собственно и должны обнаружить где как и на каком этапе допущена логическая ошибка и найти её. Но они этого сделать не смогут, ибо см. сабж.
1. пусть есть некая величина S. пусть она равна S=1. пусть есть величина K и пусть K=0. Очевидно, что S<>K
2. Возьмём величину X и прибавим к ней бесконечное число нулей: X+0+0+0+0..., очевидно что итог равен X (этот вывод важен для того что мы увидели что столкновение с бесконечностями не так страшно, если они нулевые)
3. пусть некая величина S равная 1-1+1-1+1-1+1-1... Расставим скобки: 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., что, очевидно равно: 1+0+0+0+0+..., т.е. S=1
4. пусть некая величина K равна так же как и S выше 1-1+1-1+1-1+1-1... Расставим скобки другим образом: (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+... что, очевидно равно 0+0+0+0+0..., т.е. K=0.
5. Но K и S равны друг другу по определению в (3) и (4), следовательно 1=0, что неверно.
Следовательно аксиоматика логики и базовых основ математики неверны!
=A=L=X=
> 5. Но K и S равны друг другу по определению в (3) и (4), следовательно 1=0, что
> неверно.
Но S = 1, K =0 => S != K.
Так 3:
=A=L=X=
3. пусть некая величина S равная 1-1+1-1+1-1+1-1... Расставим скобки:
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., что, очевидно равно: 1+0+0+0+0+..., т.е. S=1
Ну-с, а 4:
=A=L=X=
4. пусть некая величина K равна так же как и S выше 1-1+1-1+1-1+1-1...
Расставим скобки другим образом: (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+... что, очевидно
равно 0+0+0+0+0..., т.е. K=0.
> Следовательно аксиоматика логики и базовых основ математики неверны!
Они тебе изменяли? Другая религия..? Вообщем держи в курсе...
qGrin
Ты кажется выпустил из внимания:
...пусть некая величина K равна так же как и S выше 1-1+1-1+1-1+1-1...
Вообще конечно тут опять отсвечивает не что иное как Аксиома Выбора (за подробностями можно пройти в вики).
Доходило до того что серьезные математики скатывались во мнение что нельзя строить умозрительные эксперименты даже с числами, если их нельзя за конечное число времени воплотить в физической реальности (если не ошибаюсь это направление в математике было названо конструктивизм, но скорее всего ошибаюсь, давно уже читал книжку про этот математический раскол). Но таким образом отметаются и такие вещи как, например, апории Зенона, которые уже давно трудностей ни для логики ни для математики не представляют.
У логики и математики проблем нет. Проблемы у людей, их использующих.
aloha_hawaii
> У логики и математики проблем нет. Проблемы у людей, их использующих.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC… E%D1%80%D0%B0
Новая аксиома вызвала бурную полемику и до сих пор безоговорочно принимается не всеми математиками. Бытует мнение, что доказательства, полученные с её привлечением, имеют «иную познавательную ценность», чем доказательства, не зависящие от неё. Появление аксиомы выбора вызвало также дискуссию о том, что означает в математике понятие «существование» — в частности, о том, можно ли считать существующим множество, ни один элемент которого не известен.
...
Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно парадоксальных, вызывающих интуитивный протест части математиков. Например, появляется возможность доказать парадокс Банаха — Тарского, который вряд ли могут счесть «очевидным» все исследователи (см. также Квадратура круга Тарского). Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому выбора, провел Вацлав Серпинский. Однако, без сомнения, многие важные математические открытия нельзя было бы сделать без аксиомы выбора[1].
Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».
Если бы всё было так просто, ох если бы было...
=A=L=X=
Ну приведенный пример с K и S - это совсем просто, это лишь вопрос выбора элементов числового ряда. С одной стороны мы вычисляем бесконечный числовой ряд, а с другой сами же обозначаем "последнее число" этого числового ряда. Никаких логических противоречий нет. Нелогичность вытекает из неполного определения условий выражения.
Что же касается логики, то тут еще проще. Логика оперирует лишь известными ей терминами и явлениями и пасует в сферах с терминами и явлениями, отличными от известных. В качестве примера можно привести начало эпохи экспериментальной квантовой физики. Результаты квантовомеханических экспериментов с точки зрения классической механики получались непонятными, нелогичными и абсурдными, а все потому, что квантмех ввела ряд категорий, с которыми человечество ранее никогда не сталкивалось. Да вы и сами все знаете...
Скучно.
=A=L=X=
> Фундаментальные проблемы логики и математики
В основном они заключаются в том, что многие элементы
там отсутсвуют.
=A=L=X=
> Вообще конечно тут опять отсвечивает не что иное как Аксиома Выбора (за
> подробностями можно пройти в вики).
Вообще 3ий класс, сложение и вычитание, в п.3 волшебно исчез -1.
Barabus
Проблема много глубже чем может показаться из этого примера с +1-1, недаром есть моменты которые я выделил жирным.
В точности такой же трюк я видел недавно в одной книжке "Простая одержимость", посященная гипотезе Римана, где много интересных вещей в общем то рассматривалось. И был там один такой вот очень же похожий момент - выводился ряд для некоторой зависимости (искалось аналитическое выражения для одной функции) и получался значит ряд, который перекомбинациями членов приводили в хороший вид, который давал нужный результат. При этом замечалось что если члены перегруппировать иным способом (наподобие вышеприведенного примера - чет с нечетом), то получалась чушь (так же наподобие 0=1). Причём замечалось что полезный результат верен, а неверный результат просто побочное явление. Если будет интересно о чём именно речь могу найти про какую именно главу идет речь.
Но суть то в том что это "побочное явление" никак логикой и математикой не фильтруется, а фильтруется же факто "мол ну чушь же получилась, значит и не рассматриваем её", в то время как математико-логический аппарат тот же самый. В этом и заключается на мой взгляд суть аксиомы выбора. Нет никаких формальных соображений о недопустимости такого то и такого то построения кроме как соображения чисто практического плана "в реальности такое невозможно, чушь какая то - отбрасываем результат", хотя шаги приводящие к этой чуши столь же логичны, как и прочие совершаемые шаги. Это и есть уязвимость в логике и математике о которой сабж.
Еще раз замечу - это не так то просто как может показаться сразу. Тут надо хорошенько задуматься. Иначе бы не было http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%81… D%D0%BE%D0%B2 (Кризис математических основ).
Еще раз: пример с 1-1... хоть и прост и легко можно навыдумывать объяснений про то что в теории пределов это несходящийся ряд или мол "сами себе обозначаем последнее число", но это упрятывание тени за плетнем. Это совсем не то же самое что например четкий вывод что на ноль делить нельзя. На ноль делить нельзя не потому что "ну нельзя и всё тут", тому есть логические обоснования. А вот с этим рядом как раз ситуация такова что просто взяли и договорись "нельзя и всё тут", а почему нельзя - почему четкие логические конструкции без заранее заложенных парадоксогенерирующих вещей генерируют противоречия - вот она самая тютелька.
И еще раз подчеркиваю:
Наконец, и по-видимому это самое главное, существовали принципиальные трудности обоснования непротиворечивости математики, ее "спасения", многие из которых не преодолены до сих пор.
Это из ссылки выше. Уж поверьте, я бы не стал просто подкидывать детскую шараду с таким громким заголовком, если бы за ним на самом деле не было истины. И не такая уж это и детская шарада, как может показаться при поверхностном рассмотрении.
Очередная веселая тема, которая подразумевает, что, если мы берем неверные посылки (но не замечаем их по своей невнимательности или незнанию) и получаем неверный ответ, то это почему-то (Внезапно!) начинает казаться нам удивительной тайной и парадоксом логики и математики.
А вообще, даже если так и есть неувязки, то в чем "фундаментальные проблемы"? Да, ньютоновская теория не идеально описывает законы взаимодействия тел, но она практичнее и удобнее для своих задач, чем теория относительности.
Зачем навешивать дополнительные проблемы там, где нужно решение простых задач, а проблемы по сути никак не влияют?
Набор стаканов
> Зачем навешивать дополнительные проблемы там, где нужно решение простых задач,
> а проблемы по сути никак не влияют?
Ну вот именно что по ссылке чуть выше и видно что современные математики любят прятать голову в этот песок. Забавно.
В математике для всех этих случаев есть обоснования почему так делать нельзя. Типа почему нельзя скобки как хошь расставлять в бесконечной сумма и всё такое.
=A=L=X=
> Ну вот именно что по ссылке чуть выше и видно что современные математики любят
> прятать голову в этот песок. Забавно.
Я не полез по ссылке выше. Я говорю о данной простой задаче, где проблема высосана из пальца.
Набор стаканов
> Я говорю о данной простой задаче, где проблема высосана из пальца.
Из пальца высосано "решение" этой проблемы. А точнее упрятывание проблемы за формулировку "ряд несходится" и всё.
На самом деле ничего не решено.
Еще раз по пунктам.
Есть исходные посылки - аксиомы и теоремы, как то а) "от перестановки слагаемых сумма не меняется", как то б) "сумма нулей, даже бесконечная есть нуль".
Далее есть ряд +1-1..., который в зависимости от расстановки скобок (вспоминаем (а)) выдаёт конкретный результат 0 или 1 (пользуясь (б)). Причём ни один из этих двух способов математически не противоречив и не содержит в себе подковырок (типа деления на ноль, которое любят иногда приводить для "доказательства" того же 1=0).
Вопрос вот в чём - почему так? Где закралась ошибка? Ведь систему аксиом где выводятся противоречащие друг другу результаты называют противоречивой. В чём соль ошибки и противоречия? Ведь нигде мы не использовали "запрещенных (логически!)" приёмов типа деления на ноль и имели дело только с уже знакомыми и понятными скобками и бесконечными суммами нулей? В классических парадоксах парадокс заложен изначально в формулировке задачи. Где он зарыт здесь и почему не получается сказать "ага - вот тут изначально неправильность и противоречие в условиях задачи", как в обычных парадоксах?
TarasB
> нельзя скобки как хошь расставлять в бесконечной сумме
Конечное число скобок расставить можно, а бесконечное - нельзя. Даже при аксиоме выбора.
Тема в архиве.