Войти
ФлеймФорумНаука

Связь между числами Pi и e

Страницы: 1 2 Следующая »
#0
13:00, 10 фев. 2019

Есть известное тождество Эйлера:

Изображение

Отсюда ясно, что существует быть какая-то фундаментальная связь между числами Пи и e. Может кто-нибудь на пальцах объяснить, в чём она заключается? Число Пи связано с окружностью, а e – основание натурального логарифма; значит, есть некая фундаментальная связь между окружностью и логарифмом. Я уверен что в этом можно (и нужно) разобраться.

https://polenadisto.livejournal.com/396833.html

Здесь показано как была математически получена эта формула, но мне по-прежнему видна некая загадка. Если в физике, например, какие-то фундаментальные физические константы, полученные из разных областей знания, неожиданно совпадут, это будет основанием радоваться для учёных, т.к. будет ясно что существует нерешённая научная проблема – объяснение этой связи. Пример – антропный принцип.
Вот моя старая тема, имеющая отношение к этой (причинность в математике):

https://gamedev.ru/flame/forum/?id=192039

#1
13:07, 10 фев. 2019

е это не только логарифм, он связан ещё и с синусами мнимых чисел, а от синусов до пи рукой подать.

#2
13:08, 10 фев. 2019

Vit Nhoc
> Если в физике, например, какие-то фундаментальные физические константы,
> полученные из разных областей знания, неожиданно совпадут
Вы забываете, что "физические константы" - это, по большей части, просто коэффициенты, зависящие от системы мер. А т.к. система мер выбиралась, мягко говоря, произвольно, то в величине констант нет ничего сакрального.

Vit Nhoc
> Здесь показано как была математически получена эта формула, но мне по-прежнему
> видна некая загадка.
Какая?
В том, что букой e мы обозначили "эту штуку"? И она равна чему-то, не потому, что "e", а потому, что таковы свойства этой "штуки"?

Vit Nhoc
> Вот моя старая тема, имеющая отношение к этой (причинность в математике):
Имеет смысл почитать... хоть что-нибудь.

#3
13:45, 10 фев. 2019

1 frag / 2 deaths
> от синусов до пи рукой подать.
Выведи из одной константы другую

#4
14:36, 10 фев. 2019

entryway
> Если ты знаешь что такое комплексное число, то сможешь записать его в
> тригонометрическом виде, из которого моментально следует тождество.

Вы случайно не про то, что комплексное число - аналог координаты (x - действительная часть, y - мнимая часть)? Тогда прошу продолжить мысль.

#5
(Правка: 14:38) 14:36, 10 фев. 2019

Vit Nhoc
> Число Пи связано с окружностью, а e – основание натурального логарифма; значит,
> есть некая фундаментальная связь между окружностью и логарифмом.
Связь между експонентой и синусом/косинусом (и окружностью) тянется еще из ОДУ:
[cht]f'(x) - f(x) = 0[/cht], решение [cht]f(x)=ke^x[/cht]
[cht]f''(x) + f(x) = 0[/cht], решение [cht]f(x)=a \sin x + b \cos x[/cht]
[cht]f''(x) - f(x) = 0[/cht], решение [cht]f(x)=a e^x + b e^{-x}[/cht]
...

#6
14:38, 10 фев. 2019

Vit Nhoc

Тождество Эйлера действительно выглядит магическим, объединяющим очень разные фундаментальные разделы математики в одной простой формуле, но что оно обозначает по сути? А по сути оно обозначает очень простую вещь, которая может быть выражена обычным языком: "если повернуть точку (1;0) вокруг начала координат на Pi радиан, то она попадёт в точку (–1;0)". Это легче увидеть если перенести единицу в правую часть e^i*Pi = –1. Тут надо понимать, что раз уж мы связались с мнимой единицей i, то вся формула является выражением в комплексных числах, а это именно та дисциплина, где мнимая единица и возникла, поэтому правая часть где у нас стоит –1 это просто сокращение от записи комплексного числа –1+i*0, что выражается в виде точки как (–1;0) — то самое что "поворачивает" возведение e в комплексную степень.
А как так получается, что возведение в комплексную степень вообще чего то поворачивает?
А это уже органическое свойство комплексных чисел — если перемножать два комплексных числа, то результат имеет строгую геометрическую трактовку: если воспринимать действительные и мнимые части как координаты вектора на плоскости, то комплексное перемножение даёт вектор повёрнутый относительно оси OX на сумму углов исходных двух, а длина его есть перемножение длин исходных двух векторов/чисел. Это перемножение двух комплексных. А так как возведение в степень из первых оснований есть как раз перемножение числа само на себя энное число раз, то и получается (через несколько интересных шагов, конечно), что возведение e в комплексную степень линейно набегающую по оси Y как вектор "проворачивает" вокруг центра координат точку (1;0) — именно эту несложную мысль и выражает, как теперь понятно, формула Эйлера.

#7
(Правка: 15:00) 14:59, 10 фев. 2019

ломает искать, если искать периметр опеределенное многоугольника (связанного с е), то можно показать, что передел как раз пи. Где то есть кратинка в тему

О нашел на вики

ExpIPi | Связь между числами Pi и e

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity

#8
17:34, 10 фев. 2019

Вот еще от Рамануджана
Изображение

#9
(Правка: 17:56) 17:56, 10 фев. 2019

Комплексные числа можно записать двумя способами: как модуль/длину и угол или как сумму действительной части и мнимой:

R*eix = R*(cos(x) + i*sin(x))

Если длина единица, то
euler-formula-circle | Связь между числами Pi и e

Когда угол равен пи, мнимая часть равна нулю, а действительная -1.

#10
(Правка: 18:19) 18:07, 10 фев. 2019

Можно посмотреть на разложения в рады Тейлора/Маклорена.
У синуса в разложении только нечетные степени, у косинуса - только четные. Косинус или синус как раз связывают Pi в аргументе с нулем или минус единицей в результате.
У разложения e^x - как четные, так и нечетные.
Причем вид членов одинаковый, отличаются только знаками.
Попробовать поискать связь между e и Pi в объединении этих рядов.

P.S.
В общем-то этот факт иногда даже на практике используют, когда необходимо одновременно посчитать синус-косинусную пару для угла и одновременно - обратно экспоненциальное затухание от этого же угла, например, чтоб моделировать вращение фазы затухающих гармонических колебаний (которые являются общим решением гармонического дифура второго порядка с ненулевым коэффициентом при первой производной):
f = sin(w*t) * e(-w*t)
f ' = cos(w*t) * e(-w*t)
- для быстрых расчетов как раз удобно посчитать все члены разложения экспоненты, а потом для синуса взять нечетные члены, для косинуса - четные.

#11
(Правка: 1:29) 1:16, 11 фев. 2019
передумал
#12
(Правка: 7:45) 7:42, 11 фев. 2019

основная причина — это формула эйлера, так как из неё это тождество выводится прямым образом, подставив [cht]\alpha=\pi[/cht]
[cht]e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)[/cht]

а вот эту формулу получить можно, например, через разложение Тейлора:
[cht]exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...[/cht]
далее, если подставить [cht]x=i\alpha[/cht]:
[cht]exp(i\alpha)=1+i\alpha-\frac{\alpha^2}{2!}-i\frac{\alpha^3}{3!}+...[/cht]
сгруппировав чётные и нечётные члены, получаем:
[cht]exp(i\alpha)=(1-\frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!}+...) +i(\alpha-\frac{\alpha^3}{3!}+\frac{\alpha^5}{5!}+...)[/cht]

и если вспомнить разложение тригонометрических функций:
[cht]sin(\alpha) = \alpha-\frac{\alpha^3}{2!}+\frac{\alpha^5}{5!}+...[/cht]
[cht]cos(\alpha) = 1 - \frac{\alpha^2}{2!}+\frac{\alpha^4}{4!}+...[/cht]

то можно заметить, что первая скобка в разложении экспоненты — косинус, вторая — синус

#13
(Правка: 20:45) 20:43, 11 фев. 2019
Изображение

Я умею генерить картинки формул тупо ссылкой, более полезной информации итт уже не будет.
#14
(Правка: 13 фев. 2019, 0:16) 13:43, 12 фев. 2019

Год назад задумывался. Закончилось так:

еее! обосраться
я понял геометрически формулу Эйлера
меня давно мучил этот вопрос
каким хреном связаны e, π, i таким чётким соотношением
если связь между пи и мнимой единицей понятна
то какое отношение возведение в степень имеет к кругам и вращению я врубиться не мог
наконец-то допёр ^_^
тема такая, короче: e - это просто число такое, для которого производная e^x равна тому же самому
если мы в эту формулу добавим i, то каждая следующая производная e^(i*x) будет равна тому же самому, домноженному на i
e^(i*x), i*e^(i*x), i*i*e^(i*x),  i*i*i*e^(i*x)...
или
e^(i*x), i*e^(i*x), -e^(i*x),  -i*e^(i*x)…
ну и по кругу
это свойство возможно только благодаря использованию e
ну так вот. домножение на i - это поворот на 90 градусов в комплекной плоскости
получается функция со свойством того, что производная на 90 градусов повёрнута, её производная ещё на 90 и так далее
если это представить, то получается, что точка будет кружиться
потому что скорость изменения всегда по касательной к кругу
ускорение перпендикулярно касательной (то есть центростремительное ускорение вращения)
ну и остальные производные направлены на то, чтобы всегда направлять центростремительное ускорение к центру круга
так вот и получается, что эта хрень эквивалентна тригонометрической форме, которая описывает вращение через синус и косинус
традиционное доказательство через ряды имеет тот же геометрический смысл
каждый член ряда Тейлора - это, по сути, и есть вклад каждой следующей производной
чем больше мы их учтём, тем точнее вычислим ряд
ну а если вклад производных спроецировать на реальную и мнимую оси, то, собственно, получим ряды эквивалентные косинусу и синусу
что опять же логично геометрически
офигенно

Страницы: 1 2 Следующая »
ФлеймФорумНаука