Войти
ФлеймФорумНаука

Природа математического противоречия и теорема о сумме условно сходящихся рядов

Страницы: 1 2 322 23 Следующая »
#0
(Правка: 5:25) 3:03, 28 ноя. 2019

Теорема Римана об условно сходящихся рядах

теорема в математическом анализе, которая утверждает, что, переставляя члены произвольного условно сходящегося ряда, можно получить произвольное значение.
(этот факт показывает разницу между условной сходимостью и абсолютной сходимостью: если ряд сходится абсолютно, то он будет сходиться к одному и тому же значению вне зависимости от перестановки его элементов)

Коммутативность сложения

от перемены мест слагаемых сумма не меняется

Закон противоречия (закон непротиворечия)

закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере одно из них ложно.
Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика. Его отрицание является тавтологией классической логики

Чтобы понять что тут не так пробежимся (по ссылке выше) по тому как доказывается теорема Римана о рядах - рассматриваемый условно сходящийся знакопеременный ряд расслаивается на два полуряда - только с положительными и только с отрицательными элементами. Дальше мы составляем новый ряд (перестановку) следующим образом:
1. "нагребаем" из нужного полуряда столько элементов чтобы выйти на нужное нам число сделав текущую сумму ряда чуть больше пока даже добавление следующего члена из другого полуряда не сделает эту сумму меньше
2. извлекаем тогда следующее число из другого ряда
3. повторяем с пункта 1 до бесконечности
Так как оба полуряда расходящиеся и бесконечные то с одной стороны ими всегда можно будет "маневрировать" возле нужной нам суммы ряда неограниченно долго, а с другой стороны можно легко показать что все члены обоих полурядов окажутся в сумме, в итоге следует вывод: меняя таким образом порядок членов условно сходящегося ряда можно получить любую сумму нарушив таким образом один из базисов формальной арифметики - коммутативность сложения.

Или нет?

Для того чтобы еще лучше показать что тут не так я приведу похоже доказательство того, что единица равна нулю.
Возьмём ряд в котором первый член - единица, а все остальные члены равны нулю.
"Докажем", что перестановкой членов можно сделать сумму этого ряда равной нулю.
Алгоритм этой перестановки возьмём следующий:
1. установим указатель текущего элемента на первый член ряда (единицу)
2. переставим местами текущий и следующий члены ряда (теперь в текущей позиции будет ноль, а единица окажется в следующей позиции)
3. поместим текущий в формирующийся ряд (и можно тут же зачесть его в сумму ряда - она как понятно останется равна нулю)
4. переходим к следующему элементу
Понятно, что сумма которую мы будем по такому ряду считать на любом шаге будет равна нулю.
Вы скажете: но что ты делаешь! Тут же очевидно, что единица искуственно "толкается впереди паровоза" так что никогда не попадёт в сумму! Вот и всё!
Но не спешите, следите за руками, сейчас я вам докажу что единица попадает в сумму и равна нулю:
Теорема №1: единица никогда не покидает ряда - операция перестановки сохраняет оба своих элементов в ряде => единица остаётся в нём на любом шаге алгоритма.
Теорема №2: алгоритм проходит по всем элементам ряда - по индукции если алгоритм обработает элемент номер N, то он обработает и элемент N+1; известно что алгоритм стартует с элемента номер 1 => все элементы ряда будут обработаны (или по другому - не существует элемента который алгоритм не затронул бы)
Еще раз: единица точно находится внутри ряда и все его элементы будут добавлены в результирующий ряд... => единица зачтётся в сумму и сумма будет равна нулю => наша сумма единицы с нулями равна нулю. Ч.т.д.

Что тут не так? Конечно же противоречие. Легко показать, что истинно и другое высказывание - что алгоритм никогда не достигнет в своём процессе суммирования с единицей (для любящих слова посложнее это значит так же что нет номера в который попадёт единичный элемент или не определена должным образом биекция первого ряда во второй), а значит мы просто должны поднять в памяти закон непротиворечия - если мы видим противоречащие друг другу "доказанные" высказывания, значит ищи буллщит и обязательно его найдёшь.

Буллщит тут разумеется именно в том, что алгоритм искусственно построен так чтобы никогда не допустить единицу до суммы - и даже при внешнем удовлетворении формальных признаков, полной уверенности что мы доказали что единица в сумму войдёт, этого всё-таки не происходит. Мы просто создали противоречие, парадокс, умозрительный колосс на глиняных ногах.

Как доказать что перестановка по Риману тоже есть буллщит? Да просто точно так же посмотреть что же именно она делает - а она точно так же "гонит" перед сумматором ненулевую и вечно стремящуюся к разнице между исходным рядом и той суммой которую псевдоалгоритм якобы "находит" остаточную сумму. Только делает он это хитрее - у элементов которые составляют эту сумму нет конкретных номеров (впрочем, как и у нашей единицы) - она образуется за счёт того, что мы "вычерпываем" один полуряд быстрее чем другой заметая в разницу остатки рядов в вечном цикле. И разница эта не стремится к этом вечной цикле к нулю - она просто "толкается" впереди паравоза сумматора. Точно так же как единица выше. И точно так же этот факт замыливается доказательством, что все элементы обоих полурядов попадут в итоговый ряд - это тоже не вызывает сомнений, но точно так же это не означает что в итоговый ряд попадает... проталкиваемая вперёд сумма.
Бред?
Или может быть... противоречие?
Есть ли противоречие в математическом объекте, который от перестановки мест слагаемых меняет свою сумму?
Это действительно вопрос?

Удивляет другое - почему эта штука до сих пор присутствует в учебниках по математике? Почему математики не просто не раскрыли противоречие, не препарировали его под микроскопом, но вместо этого нарядили в дорогое платье теоремы, приладили сверху шляпку доказательства и поселили в учебниках на правах математического знания??


#1
7:56, 28 ноя. 2019

=A=L=X=
> Почему математики...
Потому что если тебе показалось, что ты смог свести ряд к какому-то значению, вспомни про Римана. Возможно ты занимаешься хернёй.

#2
(Правка: 8:16) 8:14, 28 ноя. 2019

youtube
> Потому что если тебе показалось, что ты смог свести ряд к какому-то значению,
> вспомни про Римана. Возможно ты занимаешься хернёй.

Это очень интересный вопрос, потому что пример с Риманом смог налажать на определении сходимости ряда.
Сходимость ряда расправляется с демонами бесконечных рядов, и там в целом требования казалось бы несложные - надо чтобы сумма стремилась к чему то, а последующие члены ряда становились всё меньше и меньше, т.е. не оставляя возможности куда то потом увести внезапно сумму ряда на бесконечности.
Собственно тут и видны уши косяка Римана - он эти самые формальные признаки сходимости ряда ставит раком - но так бочком-бочком, что этого как бы никто не замечает.
Хотя уже сам факт того что одна и та же сущность движением застёжки даёт разные суммы одних и тех же величин - уже надёжная и веками проверенная красная сирена противоречия.

#3
8:34, 28 ноя. 2019

Интересно так же как то чётко формализовать отличие исходного и получающихся рядов, ведь в целом можно утверждать, что процедура Римана какой то ряд да строит, но вот какой? Вроде бы он и состоит из всех тех же элементов, что исходный ряд, но как у же понятно есть какое то серьёзно и ощутимое по сумме отличие. Но вот какое точно?

Например по процедуре с единицей что я привёл понятно, что несмотря на то, что исходный ряд содержит единицу на первой позиции, но в генерируемом ряде её точно нигде не будет. Есть вот прям элемент в который можно ткнуть и сказать - его там нет. Из ряда с одной единицей мы получили ряд только из нулей. Это было просто. И неважно что мы парой теорем доказали, что эта единица должна там быть - процедура это исключает.

У Римана мы тоже видим, что сталкиваемся с бесконечным ненулевым и конкретным остатком, который так же "выпихивается" на бесконечность, поэтому так же хочется сказать что "его там нет", но нет элементов в которые можно конкретно ткнуть и сказать - вот их нет, в них вся проблема. Тут подвох тоньше и всё так же очевидно, что доказательства того что все элементы исходного ряда вошли в конечный недостаточно для того чтобы заявить что и сумма вошла в конечный ряд - нет не вошла, об этом и теорема и как прячется этот хвост даже понятно, куда он прячется тоже понятно, но вот откуда он берется - уже как то не так очевидно. Интуитивно всё должно крутится вокруг того что полуряды вытягиваются с разными скоростями и их текущие указатели N и M расходятся на бесконечности. Ведь опять таки очевидно, что если как угодно перемешивать N первых элементов ряда, то никаких таких фокусов не получится.

#4
9:34, 28 ноя. 2019

=A=L=X=
А тут слабо найти косяк? https://rextester.com/YMZCJ79471

#5
9:39, 28 ноя. 2019

А вообще, "сумма ряда" - это не результат сложения, и поэтому законам сложения подчиняться не обязан.
Спрашиваешь, а что это тогда такое? Всего лишь предел ряда частичных сумм.
Просто так получается, что у каких-то рядов этот предел существует и не зависит от порядка элементов, у каких-то - существует и зависит, а у каких-то - не существует вовсе.

#6
(Правка: 9:47) 9:46, 28 ноя. 2019

Delfigamer
> Всего лишь предел ряда частичных сумм.

Как будто бы кто-то спорил.

> Просто так получается, что у каких-то рядов этот предел существует и не зависит от порядка элементов, у каких-то - существует и зависит, а у каких-то - не существует вовсе.

Тут надо или крестик снять или трусы надеть.
Ряд 1, 0, 0, 0, 0, ... тогда тоже равен нулю или единице - смотря как предел частичных сумм считать, да?
Правда тут же возникают неудобные вопросы - не равен ни ноль единице, но разве это проблема в математике где допускается что закон сложения не работает?

#7
10:09, 28 ноя. 2019

"Теорема №2" справедлива только для "неподвижных" членов, то есть как раз исключает твою единицу. При условии, что подразумевается, что задача алгоритма "набить" результирующий ряд перестановками. Если же алгоритм одних набивает, а других - отфильтровывает, то тоже как бы, ну ок, результат вполне ожидаем, часть членов выкинули, сумма соответственно уменьшилась.

Разница в том, что в доказательстве т.Римана, для любого члена можно вычислить его позицию в конечном ряде. Что собственно и позволяет утверждать, что всех посчитали. В твоём "контрпримере", очевидно, нет.

В чём вообще проблема-то? Т.Римана как раз про то, что нельзя просто так переставлять члены, чтобы попроще посчитать сумму, и более того, для категории рядов, это упражнение позволит "доказать" произвольный результат.

А ещё можно шарик на пять частей разрезать...
#8
(Правка: 10:26) 10:15, 28 ноя. 2019

krian
> "Теорема №2" справедлива только для "неподвижных" членов, то есть как раз
> исключает твою единицу.

Нет, теорема №2 справедлива для всех членов которые находятся в ряде. С чего вдруг перемена мест что-то должна менять?
Проблема не в перемене мест, а в том чем именно занимается процедура.
То же самое и в методе Римана - несмотря на соблюдение формального признака "все члены посчитаны" это не является доказательством того, что вся сумма приняла участие в подсчёте. Собственно блин, мы намеренно строим процедуру специально так чтобы не приняла - мы сами это делаем "своими руками". Поэтому совершенно неудивительно, что можно из первых соображений быстренько доказать, что сразу два высказывания верны: все члены приняли участие в подсчёте и что определенная конечная сумма содержащаяся в изначальном ряде в подсчёте участия не приняла.
Такое реально может возникнуть в математике когда.... Когда что?

#9
10:19, 28 ноя. 2019

krian
> А ещё можно шарик на пять частей разрезать...

Вот вот вот - именно Банах-Тарский и есть современная передовица этих вот "глюков" лезущих из операций с бесконечностью. Но какая то откровенная белиберда происходит и в намного более простых вещах как видно.

#10
10:28, 28 ноя. 2019

Сравни:
В доказательстве Римана - алгоритм взял две подпоследовательности, и склеивает обратно, поочередно отрезая от них куски, уже ничего не переставляя. Поэтому для каждого члена можно утверждать, что вот, мы положили его в новый ряд.
У тебя - алгоритм идёт по старому ряду, избирательно часть элементов кладёт в новый. Поэтому можно утверждать, что мы все члены просмотрели. Нельзя утверждать, что мы все элементы положили в новый ряд.

То есть у тебя "обработаны" не означает "перенесены в новый ряд".

#11
(Правка: 11:11) 10:31, 28 ноя. 2019

=A=L=X=
> "глюков" лезущих из операций с бесконечностью
Ну там континуум и аксиома выбора подключается. Пока множества счётные, ещё не так всё плохо.

#12
(Правка: 10:35) 10:32, 28 ноя. 2019

krian
> Нельзя утверждать, что мы все элементы положили в новый ряд.

Можно, ибо можно доказать два высказывания (по индукции):
1. единица никогда не покидает ряд который подвергается трасформации
2. все элементы этого ряда подвергнутся трансформации и попадут в результирующий ряд
Этих двух теорем во всех нормальных математиках достаточно чтобы утверждать, что мы все элементы из первого ряда положили во второй (для вся наивная теория множеств Кантора на таких высказываниях и выводах из них и построена собственно).
Проблема тут не в  этом и аналогичное доказательство для процедуры Римана что все элементы отработаны так же не работает как окончательный вердикт: что всё было сделано правильно.
Что же было сделано не правильно?

#13
10:48, 28 ноя. 2019

Ты не даёшь определения "трансформации". Если то, что в нуль-посте, то "подвергнутся трансформации и попадут в результирующий ряд" только нули, как раз согласно пунктам 2 и 3 алгоритма из нуль-поста. А поскольку в ряду не только нули, то "мы не все элементы из первого ряда положили во второй".
Более того из твоего же "единица никогда не покидает ряд который подвергается трасформации", как раз тоже следует, что единица никогда не будет перенесена. Всё логично!

Последний пост.
#14
(Правка: 10:58) 10:56, 28 ноя. 2019

krian

> Ты не даёшь определения "трансформации".

Что значит не даю? Я весь алгоритм по шагам расписал.

> А поскольку в ряду не только нули, то "мы не все элементы из первого ряда положили во второй".

Я знаю как доказать что единица не попадает во результирующий ряд. Но я так же показал как доказать что она туда попадает. Поэтому невнимательный взгляд может этому доказательству поверить. Именно поэтому одному только "очевидному факту" что оба полуряда попали в результат в отрыве от всего остального доверять нельзя и в случае Римана.

> Более того из твоего же "единица никогда не покидает ряд который подвергается трасформации", как раз тоже следует, что единица никогда не будет перенесена.

Нет ничего такого в описанном алгоритме, это ты уже выдумываешь.

Парадокс тут только в том, что прекрасно понимая как возникает ошибка в более простом случае с единицей мы закрывали всё это время глаза на точно такой же парадокс в случае процедуры Римана.
Но блин, уже одно только то, что в результате процедуры получился объект который из единиц получает нули, а из сходящегося ряда - любой бредовый результат это же автоматическая красная сигнализация с сиреной: У ВАС ПРОТИВОРЕЧИЕ! ИЩИТЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ! И оно прекрасно находится. В обоих случаях.
Действительно если мы имеем противоречие, то верными могут казаться противоречащие друг другу доказательства - и это и есть сигнал наличия противоречия (см. начало первопоста).
Но вместо этого произошёл какой то непонятный мне бардак с протягиванием генерирующей что угодно суммы в реальные математические объекты.

Страницы: 1 2 322 23 Следующая »
ФлеймФорумНаука