- ecta
- Постоялец
ЧатГПТ 01 пишет, что в 2D задача задача трех тел, ещë сложнее чем в 3D.
Sbtrn. Devil
> После того, как мы определили квантор через функцию от множества с порядком, можно переформулировать пару как частный случай такого множества.
Только это будет множество булевых значений. Если вводить множества чего попало, то достаточно быстро уткнешься в противоречие наивной теории множеств. Как минимум, множество множеств должно отличаться от множества объектов. Ну и порядок тут совершенно излишен, добавляет проблем без какого-либо профита.
> У квантора есть только 2 способа применения
И в каком из этих двух способов находятся кванторы из аксиомы индукции?
\(\displaystyle\forall\mathbb{F}(\cdot):[\mathbb{F}(0)\land(\forall n\in\mathbb{N}:\mathbb{F}(n)\rightarrow\mathbb{F}(s(x)))]\rightarrow(\forall n\in\mathbb{N}:\mathbb{F}(n))\)
> Но можно было бы взять и сразу глобус с операциями глобуса.
Это не всегда возможно. Что делать с пространством постоянной отрицательной кривизны?
> Если локальная метрика определена на всём пространстве, то я так и не вижу разницы между "локальной" и "одним из вариантов глобальной на этом же множестве точек".
Фишка локальной метрики в том, что она совпадает с глобальной на множестве (бесконечно) малых значений. Т. е. она пригодна только для измерения бесконечно малых расстояний. Но на практике ничего другого и не надо, поэтому локальной метрики почти всегда достаточно.
}:+()___ [Smile]
> Только это будет множество булевых значений.
Множество \(\{(1, x), (2, y)\}\), конкретнее говоря. Частный случай \(\{(s,P(s)),...\}_{s\in S}\), когда \(S=\{1,2\},\ P(1)=x,\ P(2)=y\).
> Ну и порядок тут совершенно излишен, добавляет проблем без какого-либо профита.
Наоборот, позволяет нам "переместить" элементы с нужным свойством в начало порядка и тем самым конкретизировать вопрос, какие у них "координаты" в случае существования. Это и аксиома выбора сразу же из коробки.
> И в каком из этих двух способов находятся кванторы из аксиомы индукции?
В первом:
\((F(0)\land(n\in\mathbb{N}\to(F(n)\to F(s(n))))\to(n_1\in\mathbb{N}\to F(n_1))\)
В качестве рандомных элементов тут - n (в двух независимых экземплярах) и F (подразумевая, вообще говоря, что F(n) формально применим не только к \(n\in\mathbb{N}\), а к чему угодно).
Если мы принимаем по условию, что левая часть - тождественно true, то она перетекает во второй способ, и всё утверждение вырождается в \(n_1\in\mathbb{N}\to F(n_1)\).
> Это не всегда возможно. Что делать с пространством постоянной отрицательной кривизны?
Ну так его и взять. А если для него до сих пор не придумали подходящей алгебры - кто ж виноват? Геометрию взять точно можно - Лобачевский свидетель.
> Фишка локальной метрики в том, что она совпадает с глобальной на множестве (бесконечно) малых значений.
Так это только в окрестностях центральной точки. Чтобы и во всех других местах, это должна быть сразу одна и та же метрика.
ecta
> ЧатГПТ 01 пишет, что в 2D задача задача трех тел, ещë сложнее чем в 3D.
А если бы чатГПТ тебе с моста сказал бы прыгнуть ты прыгнул?
Пиздит отчаянно же. Любое 2D сводится к 3D с z=0 он туп просто и не понимает.
=A=L=X=
> Любое 2D сводится к 3D с z=0
Там, видимо, подразумевается, что в 2Д-случае гравитационное поле убывает не \(1/r^2\), а \(1/r\) (т/б, если сводить к 3Д, то у нас крутятся друг вокруг друга не точки, а бесконечные параллельные прямые).
Sbtrn. Devil
Это я туплю, чат мне написал что 4 тела посчитать становится ещё сложнее, а я тупо неправильно прочитал что он мне написал.
Вот ещё что он по этому поводу говорит:
Когда 2D может отличаться существенно
Если же изменять сам закон гравитации для двумерной Вселенной (например, как в электростатике в 2D, где потенциал \(\phi \propto \ln r\)), тогда получаем другую задачу (уже не «ньютоновская» в привычном смысле). Она может иметь собственные особенности интегрируемости или, наоборот, ещё более хаотичные решения. Но это отдельная тема и, как правило, это не то, что имеют в виду, говоря: «давайте рассмотрим задачу трёх тел в двумерном случае». Обычно под «2D» подразумевают, что движение жёстко ограничено плоскостью, но сила остаётся «3D-шной» (\(\frac{1}{r^2}\)).
Sbtrn. Devil
> Множество ({1,𝑥},{2,𝑦}), конкретнее говоря.
Это еще хуже: требует определения натуральных чисел, причем не имея операций \(\lor\) и \(\land\).
Неориентированное множество на порядок проще.
> Это и аксиома выбора сразу же из коробки.
Наоборот, ты пытаешься ее заменить на значительное усложнение базовых конструкций.
В нормальной логике отношение порядка вводится, когда уже все логические операторы работают.
> Если мы принимаем по условию, что левая часть - тождественно true
\(F(\cdot)\) — это произвольная функция, как оно может быть тождественно true?
Весь смысл аксиомы в том, что если для функции выполняется левое условие, то выполняется и правое.
А если не выполняется, то не судьба. Но такие функции 100% есть (например, тождественно false).
> Геометрию взять точно можно - Лобачевский свидетель.
Конечно можно, вот только метрика у нее будет не тривиальной. И это общий случай.
> Чтобы и во всех других местах, это должна быть сразу одна и та же метрика.
Нет: \(\tilde{\mu}(x,y)=\operatorname{sh}\mu(x,y)\) — пример локально эквивалентной метрики, которая не совпадает с глобальной.
}:+()___ [Smile]
> Это еще хуже: требует определения натуральных чисел, причем не имея операций и .
> Неориентированное множество на порядок проще.
Именно натуральных чисел - не нужно. В данном случае нам нужно конкретно 1 и 2, даже не как числа, а как два идентифицируемых (т. е. мы имеем возможность вводить условия вроде z=1 или z=2) и отличаемых друг от друга (т. е. \(1\neq 2\)) элемента.
Неориентированное множество проще только в смысле определения, в остальном с ним геморрой, упирающийся в невозможность "выбора по индексу". И не просто так в классике при первой же возможности вводится именно ориентированная пара (через множество {{1}, {1,2}}), а потом ещё определяются разные порядки для более общих видов множеств.
> Наоборот, ты пытаешься ее заменить на значительное усложнение базовых конструкций.
> В нормальной логике отношение порядка вводится, когда уже все логические операторы работают.
Не усложнение, а наоборот, сокращение за счёт объединения в общие случаи.
С порядком фишка в том, что в данном случае он не постулируется аксиоматически, а вводится как условие корректности множества, которое может соблюдаться, а может и не соблюдаться. И, если оно не соблюдается, то по такому множеству квантироваться нельзя (вернее, формально можно, но для результата такой операции не гарантируются интересующие нас свойства). Таким образом, число аксиом сокращается на одну, и уменьшается пространство для парадоксов. Классике это не противоречит: в ней можно квантироваться по любому множеству, но из её аксиом также следует и возможность порядка на любом множестве, так что классическое "любое множество" соответствует "любому корректному множеству".
> — это произвольная функция, как оно может быть тождественно true?
Функция-то произвольная, но в рамках более конкретных утверждений мы можем накладывать на неё дополнительные условия. Левая часть, в данном случае, это \((F(0)\land(n\in\mathbb{N}\to(F(n)\to F(s(n))))\) Если мы постановили, что она true, это значит, что мы взяли именно такую F, при которой эта самая левая часть всегда истинна. Т. е., в терминах аксиомы, выполнили часть "если [база индукции] и [шаг индукции] ..."
> Конечно можно, вот только метрика у нее будет не тривиальной. И это общий случай.
Ну так никто и не говорил, что изобрести естественную для пространства алгебру должно быть легко.
> пример локально эквивалентной метрики, которая не совпадает с глобальной.
Так это и есть "один из вариантов глобальной". Такую метрику ты не определишь на всём пространстве сразу, не имея уже известной топологии.
Sbtrn. Devil
> В данном случае нам нужно конкретно 1 и 2, даже не как числа, а как два идентифицируемых (...) и отличаемых друг от друга (...) элемента.
Т. е. с целью убрать операции \(\land\) и \(\lor\) ты вводишь лишнюю пару элементарных объектов. В чем профит тогда?
> Неориентированное множество проще только в смысле определения, в остальном с ним геморрой, упирающийся в невозможность "выбора по индексу".
При построении логики важным является именно определение. А когда все построено, уже без разницы, можно использовать любые удобные представления и доказывать их эквивалентность.
> Функция-то произвольная, но в рамках более конкретных утверждений мы можем накладывать на неё дополнительные условия.
Фишка в том, что в формулировке аксиомы функция произвольная, без вариантов. Это только в процессе применения аксиомы к конкретной функции (что, само по себе, суть использование свойств квантора \(\forall\)) уже можно делать разные преобразования, избавляясь от кванторов.
}:+()___ [Smile]
> Т. е. с целью убрать операции и ты вводишь лишнюю пару элементарных объектов. В чем профит тогда?
Не убрать, а перевести из аксиоматических в определяемые, причём вместе с кванторами. А элементарные объекты 1 и 2 всё равно придётся вводить, только в классике они вводятся проктологически и кучей дублирующих способов, логически не объединённых, и через это возникает борьба и трудности.
> При построении логики важным является именно определение.
Там именно с определением проблемы. Конструкция "возьмём [одиночное] \(x\in\mathbb{X}\) такое, что \(P(x)\)" определена примерно никак. Есть операция "взять множество таких \(x\in\mathbb{X}\), что \(P(x)\)", а вот "взять один отдельный элемент из этого множества" - уже нет. Это вроде как должно решаться с помощью аксиомы выбора, но она представлена зоопарком "эквивалентных утверждений", и канонического определения операции выбора через что-то конкретное из этого зоопарка так-таки и нет.
> Фишка в том, что в формулировке аксиомы функция произвольная, без вариантов.
Какая же она произвольная, если она засунута под квантор с ограничивающим предикатом? Можно, конечно, рассматривать именно произвольную функцию, подразумевая, что мы не ограничиваемся только истинными значениями квантора - ну так и в моём варианте можно засунуть произвольную функцию и не ограничиваться только истинными значениями левой части.
> Обнаружил необходимость зашить аналог аксиомы
Это вот как раз к вопросу об элементарных объектах 1 и 2.
Кстати, к вопросу о топологии. Вот же достаточно тривиальный пример, как можно задавать топологию, не привлекая метрику: вводим на \(\mathbb{R}^2\) конвенцию, что точки \((x_1+n_1T_1,\ x_2+n_2T_2)\) считаются одними и теми же, и вместо "плоскости" получаем "тор". Или можем ввести отождествление точек по схеме развёртки сферы на шахматную доску из двух тайлов, которую я приводил ранее - получим "сферу". "Плоскость", "сфера" и "тор" они именно в кавычках, т. к. метрики ещё нет (есть декартово произведение двух 1Д-метрик по каждой из координат), так что формально они ещё не многообразия. Но характерные топологические свойства плоскости, тора и сферы, тем не менее, уже есть.
Sbtrn. Devil
> Не убрать, а перевести из аксиоматических в определяемые, причём вместе с кванторами.
Это я и называю "убрать". У меня в движке есть операции, жестко зашитые в код (и я пытаюсь их количество минимизировать), есть предопределенные аксиомы корневого контекста (всего 4), и есть пользовательские конструкции, вводимые в рамках дочерних логических контекстов (натуральные числа в этой категории).
> А элементарные объекты 1 и 2 всё равно придётся вводить
У меня это рядовые пользовательские объекты (причем, даже не элементарные: 𝑠(0) и 𝑠(𝑠(0))), без какой-либо фундаментальной роли. Более того, можно ввести логический контекст, в котором натуральных чисел не существует в принципе, и я подозреваю, что никаких противоречий там не обнаружится.
У меня есть в далеких планах добавить к логическому движку сопроцессор, основанный на строковой стековой машине. Вот для него статус целых чисел придется пересмотреть, но это, все равно, не ядро движка, а только расширение.
> Конструкция "возьмём [одиночное] 𝑥 ∈ 𝕏 такое, что 𝑃(𝑥)" определена примерно никак.
У меня необходимость в таких конструкциях не возникала.
Вместо нее используется "не для всех \(x\): \((x\notin\mathbb{X})\lor\lnot P(x)\)".
> Какая же она произвольная, если она засунута под квантор с ограничивающим предикатом?
Этот ограничивающий предикат — просто разновидность операции или: \(A\to B\equiv\lnot A\lor B\). Вполне можно трактовать как предикат вторую часть утверждения (хотя, в данном конкретном случае, это смысла не имеет).
> Это вот как раз к вопросу об элементарных объектах 1 и 2.
Вот только у меня это не 1 и 2, а произвольные объекты. Более того, при желании можно разрешить логический контекст без пары доступных объектов, просто это потребует реализации модифицированной логики под данный конкретный случай, а у меня и без этого хватает работы.
> Вот же достаточно тривиальный пример, как можно задавать топологию, не привлекая метрику
Это именно, что топологию. А вот для пространства без метрики уже не обойтись: попробуй, например, задать обычный геометрический тор с радиусами \(r\) и \(R\) без вложения в трехмерное пространство.
}:+()___ [Smile]
> Это я и называю "убрать".
Это всё-таки не совсем "убрать". Это примерно как квадраты и корни сделать частными случаями степени. С одной стороны, как бы уже и лишняя сущность, но с другой стороны - специализированные закономерности, типа разности квадратов и квадратные уравнения, никуда не делись.
> У меня это рядовые пользовательские объекты (причем, даже не элементарные: 𝑠(0) и 𝑠(𝑠(0))), без какой-либо фундаментальной роли.
Вводить их можно по-разному, но рано или поздно в любом случае придётся. По сути, это самый простой случай вполне упорядоченного множества, на котором наличие порядка создаёт логически значимую разницу с неупорядоченным. А "фундаментальность" его в том, что есть бинарные отношения, в которых нужно как-то отличать "первый" аргумент от "второго", и это самое "как-то" и есть два различных объекта, применяемых явно или неявно.
> Вот только у меня это не 1 и 2, а произвольные объекты.
Собственно, это вопрос с точностью до биекции некого множества "произвольных объектов" на 1 и 2.
> У меня необходимость в таких конструкциях не возникала.
Необходимость в этой конструкции - следующего плана. Допустим, есть некий \(f(x):\mathbb{X}\to\mathbb{Y}\), и требуется рассмотреть \(f(x)\) для каких-то \(x:x\in\mathbb{X}\land P(x)\). У нас определена операция получения подмножества \(\{x:P(x)\}\subseteq\mathbb{X}\) по предикату. Но \(f(x)\) определена как функция от x (элемента \(\mathbb{X}\)), а не от {x} (элемента \(2^\mathbb{X}\)). Чтобы рассматривать f(x), нужно вытащить из {x} элемент (причём именно элемент, а не ещё одно подмножество, пусть даже размера 1). А такой операции у нас уже не определено! Причём, без неё мы даже не можем сформулировать утверждение "в {x} есть хотя бы один элемент" (в классике тут как раз и приходится прибегать к кванторам, причём, по этой самой причине, делать их базовыми операциями).
> Это именно, что топологию. А вот для пространства без метрики уже не обойтись
Но вопросы качественного плана, типа замкнутости линий, соответствующих причинности - вопросы как раз топологические. И, с другой стороны, для диф. уравнений топология - дело второстепенное, им достаточно и локального (в смысле ограниченного радиуса вокруг пробной точки) участка пространства, причём топологические отличия от евклидового пространства на этом участке как раз нежелательны. Поэтому вполне легитимно смотреть с точки зрения, что мы работаем не с метрикой вот прямо того самого пространства, на котором время и причинность, а с некой вспомогательной функцией на нём, которую локально можно считать за метрику на неком, вспомогательном же, пространстве. Тогда ничего страшного, если на менее локальном участке "основного пространства" вспомогательная функция уже не будет иметь свойств метрики, или же наделение её свойствами метрики ведёт к противоречию в вопросах, выходящих за рамки уравнений. Это будет означать, что вспомогательное пространство для описания процесса на таком масштабе уже не годится, и его надо перевыразить в более подходящих координатах.
Sbtrn. Devil
> По сути, это самый простой случай вполне упорядоченного множества
У тебя какая-то зацикленность на порядке. На мой взгляд, оно, в принципе, мало где нужно, и уж тем более не нужно на фундаментальном уровне построения логики.
> А "фундаментальность" его в том, что есть бинарные отношения, в которых нужно как-то отличать "первый" аргумент от "второго", и это самое "как-то" и есть два различных объекта, применяемых явно или неявно.
Это ты сначала заменил функции на множества, а потом борешься с проблемами, которые при этом возникают.
У меня наоборот: я заменил множества на функции и у меня первый аргумент — это, буквально, первый аргумент.
> в классике тут как раз и приходится прибегать к кванторам, причём, по этой самой причине, делать их базовыми операциями
Опять меняешь шило на мыло: вместо квантора вводишь дополнительную операцию, без какого-либо профита.
У себя я просто создаю дочерний логический контекст \(x:x\in\mathbb{X}\land P(x)\), который является определением терма \(x\), т. е. внутри него существует объект \(x\), обладающий заданными свойствами, причем безотносительно существования этого объекта в реальности. Вообще, у меня любой контекст — это предположение (предположим, что существует \(x\), такое что...). Если внутри контекста обнаруживается противоречие, то происходит удаление контекста со всем содержимым и условие контекста соединяется с \(\lnot\mathbb{T}\). Собственно, это один из главных методов доказательства (от противного) в моем логическом движке.
> Но вопросы качественного плана, типа замкнутости линий, соответствующих причинности - вопросы как раз топологические.
Не совсем: важен наклон мировых линий (ну или знак квадрата интервала, который суть метрика).
}:+()___ [Smile]
> У тебя какая-то зацикленность на порядке. На мой взгляд, оно, в принципе, мало где нужно, и уж тем более не нужно на фундаментальном уровне построения логики.
Так без него, на самом деле, никуда. Он везде задействован или явно, или опосредованно. Начиная с того, что само логическое построение проводится в некотором порядке, и выделение в нём аксиом - не что иное, как упорядочивание множества формул.
> Это ты сначала заменил функции на множества, а потом борешься с проблемами, которые при этом возникают.
Функции, вообще-то, именно как множества и определяются. Кроме предикатов и, возможно, одноместных, потому что без них ничего особо не сформулировать, но задним числом они имеют все те же свойства, что и функции как множества.
> Опять меняешь шило на мыло: вместо квантора вводишь дополнительную операцию, без какого-либо профита.
Профит тут самый непосредственный: мы получаем "обратную" операцию по отношению к созданию множества (функцию \(\mathbb{X}\to(x: x\in\mathbb{X})\) - конкретно говоря, \(\min(\mathbb{X},L(x_1,x_2))\)), которая и замыкает всю логику определений и операций. Мы уже можем строить логику не только в направлении \(P(y) \to (y=f(x))\), но и \((y=f(x)) \to P(y)\).
> Вообще, у меня любой контекст — это предположение (предположим, что существует , такое что...).
Предвижу в этом источник проблем. Предположение о существовании, в общем случае, не противоречит твёрдому несуществованию (в отличии от твёрдого утверждения о существовании, но в твоём подходе оно не формулируемо). Поэтому, например, при наличии неких решений \(x_1\) и \(x_2\) доказательство, что любое решение имеет вид \(nx_1+mx_2\), может быть трактуемо как доказательство, что других решений, кроме \(x_1\) и \(x_2\), не существует (в случае несуществования \(x_1+x_2\)).
> Не совсем: важен наклон мировых линий (ну или знак квадрата интервала, который суть метрика).
Для введения причинности и формулировки принципа причинности, как я неоднократно показывал, достаточно частичного порядка на множестве событий (в идеале - линейного, но это уж совсем свирепый идеал (но, кстати, он бы очень хорошо совместился с супердетерминизмом)). Даже пространства не нужно как такового.