[Математика, фракталы] Как мозг определяет минимальный размер деталей в области пространства? (2 стр)

kipar
> о-моему вопрос такой: дана сцена (комната), ты ее хочешь как-то обрабатывать. Может рейтрейсить, может физику в ней считать,

Лично я хочу считать физику.
Дальше что?
Шелуху всю прочую отбрасывай.

Дезанизатор
> ВОПРОС: каков минимальный размер деталей, находящихся в этой комнате?
Окей ДипСик.

Yuriy0
Речь не о создании системы компьютерного зрения, так-то.
И не о "понимании бесконечной сложности фракталов".

ИИ -1.

Речь о том, чтобы понять, есть фрактальные свойства в конкретном объёме пространства (конкретный кубический дециметр) или нет?

С понтом, что фрактальность будет иметь место, если размер минимальных деталей = 0, или (особенно) если таковой размер стремится к нулю при приближении выбираемой области к некоему "центру фрактальности" (например, гомотетии). На примере последовательности бесконечно уменьшающихся слонов, каждый из которых стоит на голове предыдущего, бОльшего слона. Там бесконечные номера слонов же будут около одной точки находиться.

Upd: если не устраивать гармонический ряд, конечно, а иметь нормальную сходимость. Постоянный коэффициент уменьшения k.

Имбирная Ведьмочка
> Сначала для каждой точки считаем расстояние до ближайшей фичи (грани/ребра/угла). На самой фиче будет ноль — это нормально. Получается скалярное поле.

1) Кстати, интересно, что тут пофиг - входит граница в объект или не входит. Например, включает ли шар в себя пограничную сферу (или куб свои грани). Не, речь тут не о том шаре, что стягиваем или надуваем, а об исходных фигурах, типа волоса 5см из моей задачи. Как я понял, если волос включает свою цилиндрическую поверхность-границу, это закрытое множество, а если нет - открытое (привет, Перельман)?

В обоих случаях на границе функция расстояния просто будет равна 0. И скалярное поле получится РОВНО одинаковым в обоих случаях, забавно...

> Затем вторым шагом делаем фильтрацию — для каждой точки пространства, рисуем шар с центром в этой точке и радиусом К. Среди всех точек шара выбираем ту, где на первом шаге вышло значение, максимальное среди всех точек шара — это будет значение в центре шара по результату второго шага.
> Иными словами — супремум (в радиусе К) минимальных расстояний.

Вот тут у тебя чётко конца алгоритма нет. И начало - радиус K - несколько пугает, а вдруг он всю комнату захватит, или надо брать радиус достаточно маленький, в котором заведомо нет пустых точек?
А у Кипара не совсем математически - "надуваем".
Это смущает!
В общем, можно, думается мне, ещё как-то алгоритм уточнить)

Мозг знает размеры сетчатки глаза.
Отсюда и плящут вычисления.

ronniko
> Речь не о создании системы компьютерного зрения, так-то.

мозг без глаз обречен.

Как математически определить, есть фрактальные свойства в конкретном объёме пространства (конкретный кубический дециметр) или нет?

Qwen2.5-Max

Фрактальные свойства объекта или структуры можно определить, исследуя их геометрические и статистические характеристики. Чтобы математически проверить, обладает ли конкретный объём пространства (например, кубический дециметр) фрактальными свойствами, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение самоподобия
Фракталы часто характеризуются самоподобием — свойством повторять свою структуру на разных масштабах. Для проверки этого:

Разделите объём на более мелкие части (например, разбейте кубический дециметр на меньшие кубики).
Проверьте, сохраняется ли схожая структура в этих частях при уменьшении масштаба.
Если структура остаётся похожей на исходную при различных масштабах, это указывает на наличие самоподобия.

2. Вычисление размерности Хаусдорфа (фрактальной размерности)
Фрактальная размерность — ключевая характеристика фракталов. Она показывает, как заполняется пространство структурой. Размерность Хаусдорфа D вычисляется через зависимость числа ячеек N(ϵ), покрывающих объект, от их линейного размера ϵ. Математически:

D=
ϵ→0
lim
​
 
log(1/ϵ)
logN(ϵ)
​
,
где:

N(ϵ) — минимальное число ячеек размера ϵ, необходимых для покрытия объекта,
ϵ — линейный размер ячейки.
Шаги:
Разделите объём на сетку с ячейками размера ϵ.
Подсчитайте количество ячеек N(ϵ), которые содержат часть исследуемой структуры.
Уменьшайте ϵ и повторяйте подсчёт.
Постройте график зависимости logN(ϵ) от log(1/ϵ).
Определите наклон графика — это и будет фрактальная размерность D.
Если D не является целым числом (например, D=1.58 или D=2.73), это указывает на фрактальные свойства.

3. Анализ плотности распределения
Для фрактальных структур характерно неравномерное распределение плотности. Это можно проверить:

Измерьте плотность структуры в разных частях объёма.
Вычислите корреляционную функцию или спектр мощности для оценки масштабной инвариантности.
Если плотность распределена неравномерно и проявляет масштабную инвариантность, это может свидетельствовать о фрактальных свойствах.

4. Проверка на шероховатость или изрезанность границ
Фрактальные структуры часто имеют сложные, изрезанные границы. Для проверки:

Измерьте длину границы объекта при различных масштабах разрешения.
Если длина границы увеличивается при уменьшении масштаба разрешения, это указывает на фрактальные свойства.
Математически это можно описать через размерность границы D
b
​
, которая также вычисляется аналогично размерности Хаусдорфа.

5. Пример: Фрактальная структура в кубическом дециметре
Предположим, что в кубическом дециметре находится система пористого материала (например, губка или порода). Чтобы проверить её фрактальность:

Разделите объём на кубики с ребром ϵ.
Подсчитайте количество кубиков N(ϵ), содержащих материал.
Постройте график logN(ϵ) vs log(1/ϵ).
Если график является прямой с наклоном, отличным от целого числа, то структура фрактальна.
Заключение
Математическое определение фрактальных свойств в конкретном объёме пространства требует анализа самоподобия, вычисления фрактальной размерности и исследования других характеристик, таких как плотность распределения и сложность границ.

Ответ : Чтобы определить, есть ли фрактальные свойства, нужно вычислить фрактальную размерность D. Если она не является целым числом, то фрактальные свойства присутствуют. 
D
​

Более интереснее как мозг создает 3д пространственную карту тела и создает иллюзию, что чешится пятка или нос.
И мы точно касаемся этого места.

Дезанизатор
> Речь не о создании системы компьютерного зрения, так-то.

> Как математически определить, есть фрактальные свойства в конкретном объёме пространства (конкретный кубический дециметр) или нет?
Так-то это задача про "зрение".

> Разделите объём на более мелкие части
Метод конечных элементов.

> Анализ плотности распределения
Байес.
В проекте "Bayesian Deep Learning for Fractal Classification" (NASA, 2021) байесовские нейросети используются для классификации фрактальных паттернов в астрономических данных.

Формула Байеса позволяет обновлять вероятности гипотез при получении новых данных:
\(P(H|D) = \frac{P(D|H) \cdot P(H)}{P(D)}\)
Где:
P(H∣D) – апостериорная вероятность гипотезы H после наблюдения данных D
P(D∣H) – правдоподобие (likelihood), вероятность данных при условии гипотезы.
P(H) – априорная вероятность гипотезы (уровень уверенности до наблюдения данных).
P(D) – нормирующая константа (маргинальная вероятность данных).

=A=L=X=
> Лично я хочу считать физику.
> Дальше что?
> Шелуху всю прочую отбрасывай.
ок, хочешь считать физику. Какой возьмешь размер разбиения для МКЭ?

Дезанизатор
> А у Кипара не совсем математически - "надуваем".
> Это смущает!
Почему не математически - берем шар (изначально нулевого радиуса), увеличиваем на эпсилон, там где он вышел за черную область прикладываем псевдоимпульсы, сдвигаем пока не окажется целиком в черной области, повторяем пока не окажется что куда ни сдвигайся в черной области не остаться.

У Ведьмочки алгоритм проще, а результат тот же. Правда я когда формулировал имел в виду что шар может суммарно сдвинуться от исходной точки не дальше чем на К*радиус шара. Но в его алгоритме это тоже легко учесть.

Дальше правда возникает вопрос который я задал в самом начале. Если у нас есть конус и мы возьмем стартовую точку в его вершине, то дальше шар постепенно скатится к его основанию (а если мы ограничим его скатывание то не скатится).
Соответственно вопрос - а за что надо конус считать. Если есть ежик с иголками, каждая иголка длинной сантиметр а толщиной у основания миллиметр, то минимальная деталь это сантиметр, миллиметр или вообще радиус ежика? Мой критерий работает если ответ можно сформулировать как "если угол конуса острее А то результат стремится к 0, а если тупее, то результат это диаметр основания".

Правда для определения фракталов это конечно все неважно - если там фрактал мы уже на первом шаге найдем точки из которых нельзя надуть шар никакого конечного радиуса.

kipar
> минимальная деталь это сантиметр, миллиметр или вообще радиус ежика?
Я как-то параметрически смотрю, наверное

Параметры конуса: длина 1 см диаметр у основания 1 мм
Параметры ежа: радиус 10 см
минимум=1мм

Вообще я уютно представлял себе шарик, вставший поперёк иголки. "толщина" её по минимальному расстоянию (это если иголка в сечении прямоугольная 2x10). Вот 2 - это и был "размер".

Я же в начале от линий шёл. Линия пересекает данное тело, и длина чёрного участка на линии = толщине тела. Я так думал сначала, наивный подход...
Думал, вот если длины чёрных участков всегда большие, то фракталов нет, а если они стремятся к 0, то там какой-то мелкий мусор и шелуха и фракталы...
выяснилось, что есть всякие касательные...

Yuriy0
> > Как математически определить, есть фрактальные свойства в конкретном объёме пространства (конкретный кубический дециметр) или нет?
> Так-то это задача про "зрение".

Ну мне кажется, что нет.
Зрение оно от сетчатки пляшет, всякие поверхности, куда проецируется картинка (даже если глаза фасеточные, там будет поверхность).
И потому у вас пошли какие-то левые отмазы и базары "как дальняя часть картинки кажется маленькой" и прочее совсем тут ненужное. Зрение - оно про то, как есть чувак в одной точке и объект (галактика...) в другом месте, и у чувака есть только проекция.

А я про другое - сразу мысленно получим 100% достоверный слепок всей области пространства... без невидимых заслонённых частей...
...и попробуем решить 1 конкретный вопрос, есть там фрактал или нет?

Даже скажем так, если там множество уменьшающихся слонов на головах друг у друга, мы поймём, что это так и есть? И как это сделать?

Дезанизатор
> Вообще я уютно представлял себе шарик, вставший поперёк иголки. "толщина" её по минимальному расстоянию (это если иголка в сечении прямоугольная 2x10). Вот 2 - это и был "размер".
а если коническая? У нее где-то сечение миллиметр, где-то - 0.1мм, а где-то и 0.0001мм. И да, что если в ежа она переходит не рывком а плавно - т.е. четко выраженного "основания" нет.

Дезанизатор
> Зрение оно от сетчатки пляшет, всякие поверхности, куда проецируется картинка (даже если глаза фасеточные, там будет поверхность).
Зрение в кавычках, т.е. восприятие объема и это может быть эхолокация, например.
> слонов
Лучше вот фрактальный куб третьего уровня в объеме.

Кажется, что простой, а там уже 16к вертексов, а на четвертом уже 295к, на пятом редактор сказал
"ой все"...