- ronniko
- Постоялец
Кстати, у кого-нибудь открывается desmos.com?
у меня открылся сайт.
Синус - это просто полином (да, полином!) бесконечной степени
Эта тема разоблачила синус :)
Dmitry_Milk
> Синус - это просто полином (да, полином!) бесконечной степени
Ну это свойство разложения Маклорена и не только синусу свойственно.
Что такое по сути своей разложение Маклорена - это меткое замечание, что дифференцируемую функцию в точке можно аппроксимировать переписав её через её же производные в бесконечной сумме степеней.
Значение производной первой степени встанет перед x - изменение x на небольшую величину приведёт к именно такому росту функции по этой компоненте производной что отражает понятие производной.
Значение производной второй степени по тому же соображению встанет перед членом с x^2 - ровно из тех же соображений. И так далее.
Мы просто переписали функцию из абсолютной формы в дифференциальную вычленив производную каждой степени в свой отдельный членик.
И некоторые функции идеально ложатся в это разложение (очевидно что любой полином будет аппроксимирован со 100%-ой точностью причём за конечное число членов, это просто тавтология по сути своей), некоторые хуже.
Синус идеально ложится видимо из-за своей периодичной природы производных - производная синуса это косинус, а производная косинуса это синус с поправками на коэффициенты. Поэтому ряд встаёт чётко, коэффициенты единообразно заметаются под факториалы, сходимость абсолютная и сразу из коробки очень быстрая. Мне это даже удивительно, но вот эта вот какая то связь геометрии круга с возведениями в степень далее еще в комплексном анализе всплывает неиллюзорно.
Можно ли говорить что синус это вот прям полином и ничто другое? Хм, ну я бы так не сказал. Видео не смотрел, может там какие то еще идеи подкидываются.
=A=L=X=
> некоторые хуже
а некоторые - идеально плохо.
\(\varphi(x) =\left\{\begin{array}{ll} e^{-1/x^2}, & \text{ при } x\neq0 \\ 0, & \text{ при } x = 0\end{array}\right.\)
имеет в нуле все производные равные нулю.
=A=L=X=
> Ну это свойство разложения Маклорена и не только синусу свойственно
Мое прозрение было не столько в том, что можно представить как полином (это как бы само собой разумеется из ряда Тейлора), а в том, что это полином с нулями там, где синус пересекает ось X.
То есть, если поставить вопрос "найди полином бесконечной степени, нули которого это k*2*PI", то фактически получится семейство функций C*sin(x).
=A=L=X=
> Видео не смотрел, может там какие то еще идеи подкидываются.
Нет, там такого напрямую не говорится. К сожалениею, видео на эту тему на российских видеохостингах не нахожу. Можно поискать "разложение синуса в бесконечное произведение".
UPD. А, нет, нашел,
Правда посмотрел вскольз, мне кажется, что здесь как-то скучнее, чем в том в видео на ютубе, там будто бы понимает, что происходит в моей голове. И здесь, похоже, как-то по другому объясняется, странно...
Во, кстати, пришла в голову мысля и реально получилось.
В вольфрам-альфа можно забить эту формулу для ряда синуса:
plot Sum[((-1)^k x^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!),{k,0,15}]И наращивая в самом конце число итераций (где сейчас 15) можно пронаблюдать как всё чётче и дальше вырисовывается график синуса.
Тут же и наглядно видно что хотя сходимость и абсолютная, но для резкого уменьшения числа итераций почему следует большие значения аргумента подрезать чтобы в первый период его уместить.
P.S.
Похоже еще надо выбрать вариант math input, иначе он почему то на текстуальное представление формулы ругается и больше 19 для верхнего предела он уже похоже отвергает.
Dmitry_Milk
> Мое прозрение было не столько в том, что можно представить как полином (это как бы само собой разумеется из ряда Тейлора), а в том, что это полином с нулями там, где синус пересекает ось X.
А ты думал Тейлор как-то не так работает, он нули в других местах даёт?
Zefick
У Тейлора да, нули в другом месте. Совпадут с Эйлеровским разложением только в пределе.
kipar
> У Тейлора да, нули в другом месте.
Чудеса.
> Совпадут с Эйлеровским разложением только в пределе.
Что ещё за разложение Эйлера? Там где бесконечное произведение? Так если там раскрыть все скобки, то ты получишь тот же самый бесконечный ряд, и у меня такое смутное предчувствие, что он будет в точности совпадать с рядом Тейлора (там тоже будут только нечётные степени и так как обе формулы в итоге дают одно и то же значение для всех аргументов, то значит и коэффициенты при них неизбежно должны быть одинаковыми. Как при этом пи в знаменателе превратится в целое число это задача на подумать, но объяснение у этого тоже есть). Ты думал что если заменить сумму на произведение, то ты хакнешь математику? Нет, у бесконечных произведений тоже есть значения "в пределе".
Zefick
> А ты думал Тейлор как-то не так работает, он нули в других местах даёт?
Я просто никогда не задумывался, где Тейлор дает нули. Я на него всегда смотрел как на средство для численных вычислений, не задумываясь о том, что это является полиномом, и где у этого полинома нули.
Zefick
> Там где бесконечное произведение? Так если там раскрыть все скобки, то ты получишь тот же самый бесконечный ряд, и у меня такое смутное предчувствие, что он будет в точности совпадать с рядом Тейлора
Нет, там при конечном количестве членов произведения какой-то из членов точно обращается в ноль при совпадении с n*PI, обращая в ноль все произведение именно в точке n*PI (для синуса)
Zefick
> Как при этом пи в знаменателе превратится в целое число это задача на подумать, но объяснение у этого тоже есть
Лучше наоборот расскажи, как полином x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 даст корни точно равные пи и минус пи.
мне тоже не нравится синус...
Вот то ли дело! Косинус! Это да!!!
ты опоздал, синтез звуков готов
https://www.youtube.com/watch?v=1bS7sHyfi58
https://graphics.stanford.edu/papers/waveblender/