Пи-адические числа и теорема Островского

Мне сказали, что если целых чисел счётное множество, множество целых пи-адических чисел несчётно. Просьба постараться понятно объяснить что это означает, я в математике слаб. В грубом смысле это означает что пиадических чисел "больше" чем нормальных?
Ещё пытаюсь понять эту фразу:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem

"Любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел" - под нетривиальным подразумевается не ноль и не один?
Эквивалентно - имеется в виду что любому нетривиальному абсолютному значению рациональных чисел можно подобрать что-то соответствующее?

Vit Nhoc

Vit Nhoc
> под нетривиальным подразумевается не ноль и не один?
Там же ниже написано, что подразумевается под trivial absolute value: 0 для x=0 и 1 для любого остального x.

> Эквивалентно - имеется в виду что любому нетривиальному абсолютному значению рациональных чисел можно подобрать что-то соответствующее?
Это тоже там ниже написано: один способ задать абсолютное значение эквивалентен другому, если для любого x те числа \(|x|_1\) и \(|x|_2\), которые назначены ему модулями по первому и по второму способу, отличаются друг от друга только на постоянную степень (т. е. \(|x|_1=(|x|_2)^\lambda\)).

Vit Nhoc
> Мне сказали, что если целых чисел счётное множество, множество целых пи-адических чисел несчётно. Просьба постараться понятно объяснить что это означает, я в математике слаб.

Рекомендую книгу (по моему не в первый раз) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B… 1%D1%82%D0%B8 тебе по моему очень должна понравится, потому что она как раз от уровня первого класса протаскивает по таким вот всё возрастающим сложностям и проблемам из них вытекающих и вопросы про мощности множеств там одни из центральных.

В целом вопрос можно свести к тому какие бесконечности бывают.
Для этого Кантор ввёл понятие равномощности - это когда мы можем указать процедуру которая каждому элементу одного множества ставит в точности один элемент из другого множества. Эта процедура называется биекцией.
Первая бесконечность называется счётной и прямой её аналог или аватар - это множество натуральных чисел - 1, 2, ...
Так вот все натуральные, например, равномощны всем целым: ..., -2, -1, 0, 1, 2... можно "спроецировать" в 1, 2, 3, ...
Вообще если взять N счётных бесконечностей и сложить их, то получится тоже счетная бесконечность - по аналогии.
Еще легче "спроецировать" все натуральные ко всем чётным натуральным - эти множества тоже равномощны, т.е. их бесконечности одинаковы по мощности - один и тот же класс бесконечного.
Еще более странно, но счётно так же и множество рациональных чисел - хотя казалось бы они бесконечно устремляются как в +беск так и в мельчашие промежутки между числами - тем не менее рациональных чисел счётное множество.
Так вот второй класс и иной род бесконечности - это континуум - мощность вещественных чисел.
Нельзя каждому целому сопоставить вещественное так чтобы без пропусков.
Наивно можно выразится как "вещественных в бесконечное число раз больше чем целых или рациональных".

Почему биекция ломается на вещественных? Интересный вопрос - каждое вещественное само по себе уже есть бесконечный ряд цифр и легко понять, что одно единственное число из вещественных уже можно трактовать как перебор всех натуральных чисел: 0,12345678910111213... Здесь как бы происходит перемножение бесконечных мощностей первого рода. Я уже немного подзабыл, могу соврать, но есть простой принцип: если новое множество определить как множество всех перестановок исходного множества, то биекция автоматически становится невозможной и бесконечность увеличивается в бесконечность раз. И на вещественных это справедливо: можно в вещественных найти любые перестановки ряда целых - и тогда тебе всех целых не хватит чтобы "попасть" в каждое вещественное.

Так вот адические тоже суть бесконечные ряды цифр только не вправо, а влево.

=A=L=X=
> если новое множество определить как множество всех перестановок исходного множества,
Как множество всех подмножеств. С перестановками кажется что равносильно (факториал вместо экспоненты ну хз) но пока я не уверен

=A=L=X=
> Так вот второй класс и иной род бесконечности - это континуум - мощность вещественных чисел.
Возможно есть множества между счетными и континумом но им нужна новая аксиома: https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0… 5%D0%B7%D0%B0

1 frag / 2 deaths
> Как множество всех подмножеств.

Вот да, чувствовал, что неточно вспомнил.

1 frag / 2 deaths
> Возможно есть множества между счетными и континумом но им нужна новая аксиома

А вот интересно, какова мощность множества точек на двумерной плоскости с целочисленными координатами? Гугл пишет, что тоже счетное, то есть можно смапить однозначно на натуральные. Но мне тогда непонятно, в чем отличие от действительных, если, скажем, цифры от координаты Y подставлять в обратном порядке как цифры после запятой - разве в таком случае не происходит взаимно однозначного соответствия между действительными и этими точками?

Dmitry_Milk
> скажем, цифры от координаты Y подставлять в обратном порядке как цифры после запятой

И получатся только числа вида a/10^b

1 frag / 2 deaths
> И получатся только числа вида a/10^b

Так задача не изменилась - остались две счетные переменные. Вот если б b была константой - тогда понятно, но ведь нет - тогда как это смапить на натуральные?

Dmitry_Milk
> Так задача не изменилась - остались две счетные переменные. Вот если б b была константой - тогда понятно, но ведь нет - тогда как это смапить на натуральные?
Спиралькой обойти целые координаты двигаясь от нуля

1 frag / 2 deaths, то есть, фишка континуума действительных в том, что каких нибудь pi или e или прочих трансцендентных чисел никакой "спиралькой" смапиться невозможно (если рассматривать до/после запятой как пару натуральных)?

Dmitry_Milk
Твоим способом не получится обойти даже 1/3

Dmitry_Milk
> А вот интересно, какова мощность множества точек на двумерной плоскости с целочисленными координатами?

Я выше писал, что даже если взять N множеств мощности X, то их сумма будет мощности X.
Но это даже слабый вариант более сильного утверждения: если взять счётную бесконечность множеств мощности X, то их сумма будет всё-равно мощности X.
Это тоже удивительно, но факт.
Твои точки на плоскости - именно такой случай. Один ряд точек можно воспринимать как первое множество к которому мы бесконечно добавляем ряды других вдоль другой коородинаты.
И еще можно третью координату добавить - будёт то же самое.
Что на самом деле делает операция "множество всех подмножеств" - это как бы возводит в степень. Там так и пишется 2^алеф или как то так.

1) В чём называется мощность множеств и как это называется?
2) Счётная бесконечность - это самая маленькая мощность?
3) Чему равна мощность векторов из натуральных чисел? Может быть мощности натуральных чисел умножить на два? А она равна мощности вещественных чисел?

Vit Nhoc
> Чему равна мощность векторов из натуральных чисел?

Я выше как раз и задал этот вопрос :)