- Denadan
- Постоялец
1 frag / 2 deaths
> > Он тоже счётный?
> Да
Я вот не понимаю.
Допустим понятно почему, если множество натуральных чисел счётно, то множество вещественных чисел несчётно: вторые можно записать как десятичную дробь с бесконечным числом знаком после запятой. То же справедливо по отношению к пиадическим числам - это как бы тоже "дробь", с бесконечным числом знаков после запятой, только не слева направо, а справа налево. Но тогда неясно, почему всё-таки двумерный массив натуральных чисел счётный? Каждый элемент массива - это бесконечный набор натуральных чисел. Вариантов даже больше чем для одного вещественного числа: у него есть бесконечное число цифр от 0 до 9, а в таком массиве есть бесконечное число цифр от 1 до бесконечности. В чём же дело?
Vit Nhoc
там выше уже упоминали как считать такие пары, только с поправкой на натуральные берем только четверть спирали
старт - 1 = (1,1), первый виток - 2 = (2,1), 3 = (2,2), 4 =(1,2), второй виток - 5 = (3,1), 6 = (3,2) ну и т.д. для вещеаственных такого трюка не придумали
зы. почитай учебники по вышке а не пытайся квантовой телепатией её понять
Vit Nhoc
> Но тогда неясно, почему всё-таки двумерный массив натуральных чисел счётный?
Потому что в двумерном массиве натуральных чисел предметом счёта являются всё-таки сами числа на пересечении строк и столбцов.
А предметом счёта в вещественных числах являются сами бесконечные серии цифр.
Vit Nhoc
> Каждый элемент массива - это бесконечный набор натуральных чисел
Не бесконечный набор а пара натуральных чисел
Denadan
> ну и т.д. для вещеаственных такого трюка не придумали
Меня терзают смутные сомнения. Чем-то все эти заявления "эти бесконечные последовательности цифр можно перечислить, а эти бесконечные последовательности цифр - невозможно" напоминают вычисления сумм несходящихся рядов.
Типа вот ряд - он не сходится, нельзя посчитать его сумму. Но вот можно переставить элементы этого ряда так, что получится чередование элементов двух или более сходящихся субрядов - тогда можно посчитать суммы субрядов, а потом их сложить - и, вуаля, мы получили сумму исходного ряда! Но можно переставить и по-другому, и получим другой набор субрядов и... другую сумму.
Хотя вроде бы оперируем над одним и тем же бесконечным набором значений.
Vit Nhoc
Тут вообще очень жёсткая философия начинается и её с кондачка трудно во всех деталях понять - поэтому опять порекомендую книгу - она прям разжёвывает.
Для начала можешь нагуглить классическое доказательство неисчислимости вещественных от Кантора "диагональным методом".
Окай.
Но попробуй теперь даже по другому подумать - а какие есть возможности "занумеровать" вещественные числа?
Как вообще к этой задаче подступиться?
Например "возьмём первое число" - какое взять первым?
Напрашивается 0, ок.
А вторым?
Самое близкое к нулю сверху? А вот не существует такого.
Единицу? Но если так продолжать - далее тройку и четвёрку мы просто будем перечислять целые числа и опять таки цикл уйдёт в бесконечность никогда не достигнув даже 0,5. Не то.
Как тогда?
Может возникнуть искус по определению вещественного числа приближаться к ним через растущие по точности рациональные и перечислять диагональным методом все рациональные (они реально именно так и доказываются как счётные), но... но в этом процессе ни для какого N не возникнет никогда иррационального числа - просто по построению.
Но как же так - ведь определение вещественного это и есть предел сходящегося ряда рациональных чисел, но если наши попытки "тянуться в бесконечность" перечислением рациональных никогда не достигнут вещественного конца, то почему определение вещественного достигает?
Ох это жжж неспроста...
Что тут на самом деле происходит - весьма интересная и мозголомная подчас петрушка.
1 frag / 2 deaths
> Не бесконечный набор а пара натуральных чисел
Он имел в виду, что, например, каждая строка (соответсвующая какому-то конкретному Y) содержит бесконечное множество разных X.
То есть, там как бы вопрос "чем бесконечное множество разных целочисленных X отличается об бесконечнго множества разных цифр после запятой?".
Dmitry_Milk
> и... другую сумму.
Это можно сказать "парадоксы бесконечностей первого эшелона".
В матане если какие то парадоксы и возникают - всегда на стыке каких то манипуляций с бесконечно-вечным. И чтобы преодолеть надо немало мозгов погреть, но потом снова на что-то в этом духе напороться уже в более сильном варианте.
=A=L=X=
> Это можно сказать "парадоксы бесконечностей первого эшелона"
Я, собственно даже не про суммы, а вот про то, что не является ли вопрос "чем бесконечное множество разных целочисленных X отличается об бесконечнго множества разных цифр после запятой?" чем-то подобным, когда просто переставили одни и те же элементы - и изменилась характеристика, которая в случае конечного количества элементов меняться не должна.
Dmitry_Milk
Тогда пусть формулирует нормально: множество бесконечных последовательностей натуральных чисел
Dmitry_Milk
Аналогию с пределами не вижу.
Это как песок и вода. Рациональные числа заполняют отрезок но не как вода или пластилин, а скорее как не связанные между собой песчинки. А вещественные заполняют все промежутки, они как настоящая непрерывная материя
1 frag / 2 deaths
> Это как песок и вода
А если то же самое, но с припиской "размер песчинок стремится к нулю"? То есть, с одной стороны, никакая песчинка не имеет нулевого размера, но с другой стороны, всегда можно найти песчинку меньше, чем требуемый к заполнению интервал.
Dmitry_Milk
Да вот в том и прикол что даже с размером стремящимся к нулю они все равно как бы рыхло заполняют интервал. Непрерывной материи не хватает.
И кстати в такой формулировке "заполнить непересекающимися шарами с ненулевым размером" легко доказать что их число счетно - каждый шар содержит в себе рациональную точку, значит шаров не больше чем рациональных точек
Переводя на язык чисел - никакое натуральное не имеет бесконечного количества цифр, но всегда можно найти натуральное число, в котором количество цифр больше, чем некоторое требуемое (если переворачивать из после запятой).
Поэтому и говорю, мне кажется, что кардинальная характеристика бесконечного множества чем-то сродни сумме несходящегося ряда - ситуация меняется лишь перестановкой элементов.
Dmitry_Milk
> Я, собственно даже не про суммы, а вот про то, что не является ли вопрос "чем бесконечное множество разных целочисленных X отличается об бесконечнго множества разных цифр после запятой?" чем-то подобным, когда просто переставили одни и те же элементы - и изменилась характеристика, которая в случае конечного количества элементов меняться не должна.
Не не не.
Бесконечное число бесконечных массивов в своей формулировке - это и первое есть счётное множество и второе есть тоже счётное множество - мы именно что в саму дефиницию заложили счётность поставив их рядами и теперь задаёмся лишь вопросом "можем ли мы одним натуральным индексировать любую ячейку этого суммарного множества" - и действительно можем.
Переход к вещественными и неисчислимости кроется в другом: мы начинаем задавать вопрос - а как перенумеровать ВСЕ возможные бесконечные цепочки цифр? Для простоты даже не будем рассуждать про числа - просто нули и единицы. И это очень сильно отличается от построения рядов - там мы себе такой вопрос не задавали и шли от счётного к счётному.
Так вот если мы будем по порядку наращивать некий счётчик от начала к бесконечному концу нумеруя каждый новый элемент, то мы с удивлением обнаружим для себя, что мы никогда не достигнем "истинной бесконечности".
Все перечисленные числа будут содержать бесконечный хвостик нулей который можно отбросить и свести все генерируемые сущности в рациональному перечислимому множеству.
НО!!! Мы априори интуитивно говорим себе: но сплошное же существует, в любую точку отрезка если ткнуть там может выпасть именно бесконечный набор цифр - так почему они не возникают при нумерации? А потому что мы их не можем пронумеровать - вот что говорит теория.
=A=L=X=
> Если мы будем по порядку наращивать их как счётчик от начала к бесконечному концу, то мы с удивлением обнаружим для себя, что мы никогда не достигнем "истинной бесконечности".
Вот тут как раз ключевое слово "нумеровать". Оно подразумевает некоторый порядок элементов, и из-за такого порядка элементов и получается характеристика. Но если переставить элементы так, чтоб в этом порядке сразу шли числа с бесконечным количеством цифр? Собственно, мы возвращаемся к теме топика - те же p-адические числа - это те же натуральные числа в другом порядке.