- 1 frag / 2 deaths
- Участник
Dmitry_Milk
> Но если переставить элементы так, чтоб в этом порядке сразу шли числа с бесконечным количеством цифр?
Что значит "сразу"? То есть в начале ряда? То есть ты их все равно хочешь выставить как ряд, верно? Так вот в том и суть что это невозможно, всегда что-то пропустишь
Dmitry_Milk
проблема в диагонализации. Эта процедура доказывает что как ни переставляй, вещественных/пиадических все равно больше чем натуральных.
Dmitry_Milk
> Вот тут как раз ключевое слово "нумеровать". Оно подразумевает некоторый порядок элементов, и из-за такого порядка элементов и получается характеристика.
Да, оно подразумевает биекцию к множеству натуральных.
> Но если переставить элементы так, чтоб в этом порядке сразу шли числа с бесконечным количеством цифр?
Предложи способ.
В вещественных много коварства - мы можем "ткнуть" в них только счётное количество раз. Числа типа пи - такие которые мы можем обозначить как их построить - это бесконечно малая часть невообразимого океана невычислимых вещественных - ни в какое из которых нельзя ткнуть, нельзя предложить процедуру их построения, обозначения, выделения из прочих.
Я чуть позже подумаю над тем что мне тут написали, а сейчас захотелось написать кое что, извиняюсь если невпопад.
Возьмём сумму
1-1+1-1+1-1...Чему равна эта сумма? По-моему кто-то её посчитал разными способами, но мне с моим базовым пониманием всё кажется просто: это один расходящийся ряд (нечётные члены) минус другой расходящийся ряд (чётные члены), т.е. бесконечность минус бесконечность, а разница двух бесконечностей равна любому числу от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но если в пиадических числах ноль больше бесконечности, то в них такую разность посчитать вполне можно?
Далее, возьмём ряд Лейбница
1-1/3+1/5-1/7+1/9...
Он ведь в свете того что я написал выше - тоже расходится - нечётные и чётные члены это два гармоноческих ряда, которые расходятся. Но любой обыватель скажет что ряд сходится, это интуитивно очевидно. Значит этот ряд "расходится в меньшей степени", чем первый ряд? А в пиадических числах его сумму легко получить и она будет "правильная"?
=A=L=X=
> ни в какое из которых нельзя ткнуть, нельзя предложить процедуру их построения, обозначения, выделения из прочих.
То, что почти все вещественные являются принципиально неописуемыми (как монстры Лавкрафта) это другая проблема
Vit Nhoc
> Но если в пиадических числах ноль больше бесконечности, то в них такую разность посчитать вполне можно?
Нет, частичные суммы целых чисел в пиадических ведут себя так же как в обычных.
Лучше почитай матан, сейчас ты просто занимаешься поиском закономерностей путем сопоставления похожих слов
1 frag / 2 deaths
> То, что почти все вещественные являются принципиально неописуемыми (как монстры Лавкрафта) это другая проблема
Ну почему же - способность как то переставлять/выделять она уже изначально предполагает какой то порядок генерации, а универсальная генерация нам недоступна - в лучшем случае получаются рациональные или заранее выделенные корни полиномов/etc.
=A=L=X=
Невозможность описания/генерации алгоритмом это скорее следствие а не причина
Насчет генерации действительных: если считать, что обобщенно переход к следующей мощности множеств происходит через построение множества всех подмножеств, и принимать континуум-гипотезу, то получается, что должен существовать какой-то способ сопоставления всех действительных чисел с множеством всех подмножеств натуральных (или целых, или рациональных).
Другими словами, было бы интересно как-то увидеть в известных действительных те подмножества натуральных (целых, рациональных), которым их можно сопоставить.
Например, не являются ли все действительные числа (включая трансцендентные) корнями полиномов в общем случае бесконечной степени? Как недавно вот возникала мысль, что синус - это полином бесконечной степени :)
Dmitry_Milk
Каждому подмножеству множества натуральных чисел легко сопоставляется двоичная дробь, на энтом месте ноль если эн нету в подмножестве и один если есть.
Правда есть наложения с 0.0(1) = 0.1 но даже так видно что вещественных не больше чем подмножеств множества натуральных
Но классически берется сопоставление вещественного и сходящегося в себе бесконечного ряда рациональных.
Dmitry_Milk
берем любое подмножество натуральных {k1, k2, ...}, ставим ему в соответствие действительное число (2^-k1+2^-k2+...)
=A=L=X=
> Нет, строго больше-меньше-или-равно.
Но при этом, что характерно, бывают такие множества, про которые нельзя сказать, больше, меньше или равно, не принимая дополнительных аксиом. Как, например, континуум и \(\aleph_1\) требуют континуум-гипотезы (для равенства) или её отрицания (для неравенства).
Dmitry_Milk
> Типа вот ряд - он не сходится, нельзя посчитать его сумму. Но вот можно переставить элементы этого ряда так, что получится чередование элементов двух или более сходящихся субрядов - тогда можно посчитать суммы субрядов, а потом их сложить - и, вуаля, мы получили сумму исходного ряда! Но можно переставить и по-другому, и получим другой набор субрядов и... другую сумму.
Это потому, что традиционное определение суммы ряда консистентно работает только для абсолютно сходящихся рядов. С условно сходящимися, и тем более несходящимися, суть трэш и содом. Практически в прямом смысле - там можно говорить о сумме только в различных нетрадиционных вариантах, коих столь же многочисленно, сколь нетрадиционных вариантов в содоме.
А дипсик всё-таки уже мне много раз оказался полезен для прояснения каких то моментов в матане.
Вообще не слышал я ранее про: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%B… 1%D1%82%D0%B8
Формулировка аксиомы детерминированности:
Любое множество A детерминировано.
Это типа конкурент аксиоме выбора.
И результаты крайне любопытные:
С помощью аксиомы выбора доказано, что существуют множества вещественных чисел, неизмеримые по Лебегу; из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует — все множества вещественных чисел измеримы. По-разному решается проблема континуума (существование промежуточных мощностей между счётной и континуальной) — аксиоматика Цермело — Френкеля допускает любой из двух вариантов решения этой проблемы (то есть, она не может быть ни доказана, ни опровергнута), в то время как из аксиомы детерминированности выводится однозначное решение: любое бесконечное несчётное множество вещественных чисел континуально. Имеются и многочисленные иные отличия: вполне упорядочить аксиома детерминированности разрешает не любые, а лишь только конечные и счётные множества, лишается основания нестандартный анализ[7]. Упомянутая выше дескриптивная теория множеств особенно плохо согласуется с аксиомой выбора — многие выдвинутые в этой теории гипотезы, подобно континуум-гипотезе, оказались неразрешимы, в то время как аксиома детерминированности позволяет эти гипотезы строго доказать; это объясняет большой интерес к данной аксиоме математиков, исследующих дескриптивную теорию множеств[8].
Это настолько интересно, что матанщики сравнивают аксиому детерминированности с аксиомой Лобачевского - что как последняя перевернула геометрию так аксиома детерминированности перевернула теорию множеств.
=A=L=X=
> Еще более странно, но счётно так же и множество рациональных чисел - хотя казалось бы они бесконечно устремляются как в +беск так и в мельчашие промежутки между числами - тем не менее рациональных чисел счётное множество.
Ну тут же наверно ничего странного - любое рациональное число это просто пара натуральных чисел.
> Наивно можно выразится как "вещественных в бесконечное число раз больше чем целых или рациональных".
Мне кажется, это уж очень неправильно, потому что счётная бесконечность счётных бесконечностей - это тоже счётная бесконечность. Я правильно написал?
Мне стало чуть понятнее с примером про спираль (биекция спиралью). Можно как-то геометрически что ли показать, что биекцию спиралью невозможно сделать для натуральных и вещественных чисел?
В то же время, сейчас как бы для меня полностью понятна теорема Островского - если обычные "дроби слева направо" несчётны, то и "дроби справа налево" тоже.