- =A=L=X=
- Постоялец
Sbtrn. Devil
> И в этом вся соль: аксиома выбора - это утверждение на том уровне, на котором ещё не важно, из чего именно следует эта функция.
Пробный шпыньк - если есть сплошной отрезок континуума для которого верно что все числа вокруг него разбиваются только на два класса - те что меньше любого элемента в нём и те что больше любого элемента в нём, то вопрос: какой элемент в нём наименьший?
Наименьший элемент из открытого снизу отрезка - это классическая проблема невычислимости в традиционном матане.
Традиционный матан еще до того как осознал вообще такие вещи как вычислимость/невычислимость просто замёл эту сущность в категорию "несуществующих".
Но на самом деле это должно было стать классикой такого понятия как невычислимое число.
Ни за какое конечное число шагов его не вычислить - поэтому обломитесь.
Никакими конечными алгоритмами или конечными описаниями вы его не достигните - это невычислимое число.
Вы просто не сможете про него никак рассуждать кроме как отрицанием того про что вы можете рассуждать.
У вас есть мир вещей и понятий про которые у вас есть разум чтобы достичь - а потом вы делаете перевёртыш "а есть всё остальное, что не подходит под то о чём я могу рассуждать". И всё. Это весь трюк.
=A=L=X=
Для этого континуум необязателен, даже если ограничиться только рациональными дробями — уже там есть свойство, что между любыми двумя числами всегда найдётся промежуточное, поэтому у интервала вида (х1 .. х2] не существует наименьшего элемента по порядку самих рациональных дробей. Не "невычислимое". А именно "не существует".
Имбирная Ведьмочка
> Не "невычислимое". А именно "не существует".
Именно что в рациональном не существует потому что рациональные не дотягиваются до всего континуума и очевидно, что есть выпадания.
В рациональных нет пи - и что же ты это будешь предьявлять как предьяву к иррациональным? Нет же.
С рациональных и спроса быть не может.
Понятно же почему нет?
А с континууальных чисел уже спрос - зачем рассуждать про континуум как будто бы ты застрял в счётном рациональном?
Т.е. тут вопрос суровый - почему континуум не смог закрыть все дырки в континууме?
Мы ведь именно это не на него возглагали, не так ли?
Так вот нет - вопрос не в этом - вопрос в вычислимости.
=A=L=X=
Возьми множество положительных рациональных. Оно открыто снизу. Надеюсь у тебя нет сомнений в вычислимости его нижней грани?
=A=L=X=
> А с континууальных чисел уже спрос - зачем рассуждать про континуум как будто бы ты застрял в счётном рациональном?
«Допустим есть минимум М. Возьмём Н=М/2. Н<М, значит М это не минимум. Значит минимума нет.» Это доказательство остаётся верным и на континууме. И размер бечконечности тут роли не играет, это не индукция — мы первым шагом начинаем с "если существует число обладающее таким свойством, независимо от своего происхождения, то...", и вот это "независимо от происхождения" покрывает в том числе и большие бесконечности, и невычислимые величины.
Имбирная Ведьмочка
> «Допустим есть минимум М. Возьмём Н=М/2. Н<М, значит М это не минимум. Значит минимума нет.» Это доказательство остаётся верным и на континууме.
Именно так - поэтому не существует по этому рассуждению никаких иррациональных чисел - какое бы N ты не предьявил, но числа равного искомому алгоритму нет.
Это величайшая загадка математики - как от рассуждений в духе "для любого N если нет результата, то результата нет" мы перешли к "для любого N если нет результата, то он есть".
Это великая загадка и она покрывает в том числе и дух невычислимых чисел - если вы не можете к ним приблизиться шагами, то это не значит, что их нет.
В этом их суть как и числа пи - нельзя в них ткнуть конечным алгоритмом.
Можно лишь плясать вокруг методом вычёркивания "что не есть это число" и сужением круга очерчиваемого.
Так вот число которое x > y > z для любого z > 0 больше чем x это и есть наше невычислимое число y (при прочих).
То что оно невычислимо - не проблемы математики, это ваши и исключительно ваши проблемы.
Вы просто не поняли нюансы бесконечностей.
=A=L=X=
> Именно так - поэтому не существует по этому рассуждению никаких иррациональных чисел - какое бы N ты не предьявил, но числа равного искомому алгоритму нет.
Иррациональные числа — это не алгоритмы.
=A=L=X=
> Вы просто не поняли нюансы бесконечностей.
Говорит мне человек, который даже не умеет читать.
Если ты хочешь сделать как у пределов — бесконечный ряд, у которого каждое следующее ближе к x чем предыдущее, но при это все строго больше x — то по определению предела, пределом этого ряда будет сам x.
Иными словами, если ты ищешь "максимальную нижнюю границу" (инфинум) у полуоткрытого промежутка (a..b] — то ответом будет сам a, несмотря на то, что само это число этому промежутку не принадлежит. Но определение сходится — само a является "нижней границей" в том смысле что "для любого х из промежутка, a<=x"; но при этом оно же и "максимальное" в том смысле, что любое сколько угодно близкое a2 > a — уже нижней границей не является, так как появляется возможность найти контрпример x=(a+a2)/2 < a2.
А то, что ты тут описываешь, «нечто такое Ы что принадлежит открытому промежутку П=(А,Б), и при этом такое что для любого х принадлежащего П, Ы<=х» — такого среди действительных чисел не существует, это доказывается. А если ты во что бы то ни стало постулируешь, что Ы существует — тогда по вынужденной необходимости он оказывается не действительным числом, а чем-то ещё — каким-нибудь гипер-реалом или полиномом, а это уже совсем другая теория.
Например, если придумать новую алгебру на парах {р,и}, где р является действительным, а и целым, и работают они примерно как полиномы от условно малого (р + эпсилон*и) и располагаются в лексикографическом порядке — тогда да, на промежутке ( {йе,0} .. {пи,0} ) найдётся уникальный минимальный элемент: {йе,1}. Вот только это не действительное число.
И ещё у разных расширений такие элементы могут быть разными.
Имбирная Ведьмочка
> Например, если придумать новую алгебру на парах {р,и}, где р является действительным, а и целым, и работают они примерно как полиномы от условно малого (р + эпсилон*и) и располагаются в лексикографическом порядке — тогда да, на промежутке ( {йе,0} .. {пи,0} ) найдётся уникальный минимальный элемент: {йе,1}. Вот только это не действительное число.
Ну ты наверное уже вспомнил, что реально есть такая алгебра где оперируют понятием "бесконечно малая" и следующее за пи число это пи + беск_малая, а следующее за ним это пи + 2 * беск_малая.
Изящный способ отделить невычислимую часть от вычислимой.
Имбирная Ведьмочка
> такого среди действительных чисел не существует, это доказывается
Вот только глядели математики на свои доказательства вращающиеся вокруг бесконечных величин и с давних времён их грызла какая то неудовлетворённость, какой то червячок сидел в них не дающий покоя.
Так что Гильберт однажды рубанул по столу и сказал https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%8… 0%D1%82%D0%B0
А вот, кстати, такой момент.
Действительное число типа определяются как предел сходящихся последовательностей, причём последовательность может быть даже из чисто рациональных чисел. Свойство бОльшей мощности, чем у рациональных чисел, и всякая сопутствующая невычислимость, якобы настолько естественно следует из этого, что даже и думать дальше незачем.
Но зададимся вопросом - а из каких конкретно чисел состоит отдельно взятая последовательность?
Определение об этом умалчивает: достаточно, чтобы она была сходящейся, и всё.
Но вот, например, рациональные числа замкнуты не просто так, а относительно конечной последовательности из строго определённого конечного набора операций (плюс-минус-умножить-поделить) с привлечением других рациональных чисел.
Если сам набор операций и задействованных в них чисел закодировать по неким правилам в виде чисел (в силу конечности того и другого, в принципе, хватит целых), то получим, что рациональное число определяется через конечную последовательность целых чисел, вычисляемых по определённой, конечной же, формуле.
А если последовательность бесконечная, но формула, по которой вычисляется каждое последующее число, фиксированная и конечная?
А если даже формула тоже мутирует по мере прогресса последовательности, но на каждой мутации остаётся конечной, и есть фиксированная и конечная формула, вычисляющая её мутацию? (также поддающаяся кодированию целыми числами.)
А если даже эта формула мутирует по мере прогресса последовательности, но есть фиксированная и конечная формула, для вычисления уже её мутации?
И т. д. Этажность иерархии формул может быть сколь угодно большой, но на каком-то этапе упираемся в конечную и фиксированную формулу.
Такие числа уже не обязательно будут рациональными, но очевидные соображения намекают нам, что множество таких последовательностей будет-таки счётным.
Но действительных чисел всё же несчётное количество. Откуда же несчётность?
Для этого, наверное, необходимо, чтобы такой иерархии с фиксированной и конечной формулой могло не существовать.
Но как мы можем предъявить последовательность, для которой такой формулы не существует? Просто построить её, по очевидной причине, нельзя. И получается, что мы просто постулируем существование таких последовательностей.
Но допустим, что такая последовательность неким магическо-аксиоматическим образом всё-таки предъявлена. А что запрещает тогда расширить список допустимых в формуле операций, аксиоматически же добавив ту, с помощью которой получается именно эта последовательность, и предъявить для неё расширенную, но опять-таки конечную формулу? А ничто не запрещает. И последовательность войдёт в число специфицируемых, опять-таки счётное.
Придётся постулировать иначе: сколько бы конечных формул мы ни построили, всегда найдётся последовательность, для задания которой формулы ещё не построено. И только так получим это самое наше несчётное количество.
Таким образом, несчётность действительных чисел и наличие среди них "невычислимых" - не естественная данность, а результат кропотливого закадрового колдунства.
Но зайдём с другой стороны. Задание через двоичную дробь - это же просто бесконечная последовательность 0/1, и можно просто показать, что каждой из них соответствует предел. А таких последовательностей, как мы знаем из Кантора, несчётно. Итак, хи-хи чпок опа - мы получили весь этот наш континуум, с вычислимыми и невычислимыми, без всяких сознательных колдунств.
Но на это можно возразить: а с чего мы решили, что каждая конкретная последовательность соответствует именно невычислимому числу?
Даже Кантор, в этом ракурсе, таит в себе подвох. Он всего лишь показывает, что, какое бы счётное множество двоичных последовательностей мы ни взяли, можно построить ещё одну последовательность, которая в него не входит. Однако число "счётное множество последовательностей + последовательность, которая в него не входит", по-прежнему счётное! Мало того, очередной элемент этого множества вычислен явно. Где же тут эта самая наша несчётность и невычислимость?
Собственно говоря, вся соль ситуации в том, что "абсолютно никак не вычислимых" чисел не существует. По той же причине, по которой нельзя предъявить последовательность, невычислимую формулой: как только мы её предъявляем, она тут же, путём расширения множества формул, входит в круг вычислимых. Существуют числа, ещё не вычисленные (для которых пока ещё нельзя построить формулу из средств, имеющихся у нас на текущем шаге). Вот их-то, всё ещё лежащих за кадром, и есть (и всё время остаётся) несчётное количество.
Аналогичное свойство (даже не столько аналогичное, сколько это же самое) есть у множества всех счётных ординалов: оно несчётно, однако абсолютно до любого можно добраться за счётное число шагов. Несчётность обеспечивается массой тех, до которых мы ещё не добрались. Но при том ни одного, до которого мы вот прямо никогда не сможем добраться, среди этой массы нет. Вот такой парадокс.
Sbtrn. Devil
> Вот их-то, всё ещё лежащих за кадром, и есть (и всё время остаётся) несчётное количество.
Вот оголтелые финитисты тут сказали бы так: "несуществующему можно приписывать любые свойства".
=A=L=X=
> Вот оголтелые финитисты тут сказали бы так: "несуществующему можно приписывать любые свойства".
При примитивно-поверхностном взгляде на вопрос - как бы да. Но одно дело - приписывать какие-нибудь взаимоисключающие свойства. А немного другое - такие, которые, в случае гипотетического существования, получаются непротиворечивыми. И вот, если нам удастся показать наличие таких свойств, исходя только из требования о существовании - мы при этом не построим искомый объект немедленно, но, тем не менее, докажем некие его свойства "авансом". А потом, если мы вдруг сделаем что-то, позволяющее такой объект таки построить, у нас уже раз! - и готовое для него доказательство.
Для действительных чисел, например, доказана их замкнутость относительно арифметики и пределов сходящихся последовательностей. Значит, можно быть уверенным, что:
а) какое бы действительное число или последовательность действительных чисел в будущем мы ни построили, мы не сможем выскочить из действительных чисел, используя только эти свежепостроенные числа, арифметику и пределы,
б) надежды, что такое действительное число всё-таки возможно, просто всё время остаётся за кадром, безосновательны.
=A=L=X=
> Ну ты наверное уже вспомнил, что реально есть такая алгебра где оперируют понятием "бесконечно малая" и следующее за пи число это пи + беск_малая, а следующее за ним это пи + 2 * беск_малая.
Ты сегодня ллм ролеплей что ли? Она мне тоже пересказывает мне мои же мысли моими же словами, только без понимания и неправильно, и получается фигня.
Нет же, "следующая за числом пи" — это как раз только в той искусственной системе, которую я описал в своём сообщении, а в реальных практически применяемых "бесконечно малых" — между (пи) и (пи + беск_малая) есть ещё (пи + беск_малая * 0.5), (пи + беск_малая * 1/пи) и ещё целый вложенный континуум этих (пи + беск_малая * произвольный_риал), и мы возвращаемся к тому же с чего и начали — открытый интервал не имеет минимального элемента, что доказывается методом от обратного.