- Имбирная Ведьмочка
- Постоялец
Sbtrn. Devil
> Действительное число типа определяются как предел сходящихся последовательностей, причём последовательность может быть даже из чисто рациональных чисел.
Вообще, нет, главное определение действительных чисел — это описание их свойств — что их можно складывать-вычитать-экспонировать-лимитировать и так далее; а всякие кошко-ряды и разрезы — это только конкретные примеры конструкций, удовлетворяющих этим свойствам. Примерно как "кухонный стол" как абстрактная концепция против "кухонный стол белый 110х270 Икея кат. ном. 19473950" как конкретное воплощение этой концепции.
Имбирная Ведьмочка
> Вообще, нет, главное определение действительных чисел — это описание их свойств
И главное свойство, дающее отличие от рациональных - непрерывность
1 frag / 2 deaths
> И главное свойство, дающее отличие от рациональных - непрерывность
Я условно назвал это "предел сходящихся последовательностей", т. к. в вопросе действительных чисел это к пределу последовательностей в итоге и сводится. А складывание-вычитание-экпоненцирование определяется уже поверх (хотя на самом деле - несколько задним числом, т. к. с действительными числами долго работали "интуитивно"). Особенно экспоненцирование, которое вводится как предел последовательности из рациональных степеней.
Sbtrn. Devil
> Но зайдём с другой стороны. Задание через двоичную дробь
Меня напрягает, что метод Кантора сформулирован через позиционные системы счисления. А что насчет других? Почему именно позиционная используется?
Например, ничто не мешает (кроме неудобства в большом количестве знаков) записывать числа в унарной системе.
Любые расширения поля чисел потребуют в записи числа написания допольнительных операций, то есть только через формулу. Но тоже самое верно и для позиционных систем счисления, начиная прямо с рациональных (потому что запись через бесконечную периодическую дробь - это по сути тоже наличие некой операции "период" в записи "формулы" числа).
И вот тут становится интересным - а какая была бы формулировка диагонального метода Кантора, если б человечество не изобрело никаких других систем счисления, кроме унарной?
Была бы она вообще возможна? Или все же все эти канторовские фокусы именно следствие позиционной системы счисления? Или все же это следствие аксиомы непрерывности? Или при применения унарной системы счисления у нас были бы какие-то неустранимые проблемы с непрерывностью?
Sbtrn. Devil
> Особенно экспоненцирование, которое вводится как предел последовательности из рациональных степеней.
Не обязательно, там тоже несколько разных путей, которые в итоге приходят к тому же.
Например, можно дать определение, что exp(x) — это уникальное решение дифференциального уравнения exp(x)==exp'(x) && exp(0)==1, затем что ln(x) — это уникальное решение exp(ln(x))==x (то есть, тупо обратная функция), и в конце — прямо определить что a^b := exp(ln(a) * b).
Dmitry_Milk
> Например, ничто не мешает (кроме неудобства в большом количестве знаков) записывать числа в унарной системе.
Формальная арифметика сформулирована по сути в унарной системе - что есть число 1 и есть число следующее за любым другим числом - с этого разворачивается вся арифметика. Т.е. формально число 4 это Inc Inc Inc 1. Все эти десятичные способы записи с точкой - это просто краткая запись которую можно размотать в Inc, 1 и прочие операции которые мы изобретали для краткости. Поэтому не туда копаешь. :)
Dmitry_Milk
> Была бы она вообще возможна?
Суть чисел не завязана на их запись
1 frag / 2 deaths
> Суть чисел не завязана на их запись
Я тоже так думаю.
=A=L=X=
> Формальная арифметика сформулирована по сути в унарной системе - что есть число 1 и есть число следующее за любым другим числом
Это я знаю, аксиомы Пеано
=A=L=X=
> Поэтому не туда копаешь
А почему тогда диагональный метод формулируется только для позиционной системы? Раз любые записи чисел эквивалентны - должны быть и формулировки и для других систем счисления.
Dmitry_Milk
> А почему тогда диагональный метод формулируется только для позиционной системы?
Тут надо просто представить вещественное как сумму беск ряда цифр x/10÷y/100+z/1000+...
коий и есть суть позиционной записи.
От рациональных отличие только в бесконечности без периодов.
Dmitry_Milk
> А почему тогда диагональный метод формулируется только для позиционной системы?
Потому что она даёт сопоставление между R и 2^N, а это позволяет применить универсальный принцип A != 2^A для любого A. Который доказывается тоже диагонально лол
Имбирная Ведьмочка
> Например, можно дать определение, что exp(x) — это уникальное решение дифференциального уравнения exp(x)==exp'(x) && exp(0)==1,
А без готовых логарифма и экспоненты ты его не построишь, не задействуя рядов. Так что от последовательностей всё равно никуда не деваемся.
Dmitry_Milk
> Например, ничто не мешает (кроме неудобства в большом количестве знаков) записывать числа в унарной системе.
А как ты в ней будешь записывать дроби?
> Меня напрягает, что метод Кантора сформулирован через позиционные системы счисления. А что насчет других? Почему именно позиционная используется?
Строго говоря, у Кантора и не про числа как таковые, а именно про представление чисел. А дальше, если по-правильному, надо доказать, что множество строк в данном представлении биектируется в множество действительных чисел... Вроде бы во времена Кантора это считалось то ли доказанным, то ли едва ли не по определению (Вейерштрасс и прочее). Но если определять вещественные числа как пределы сходящихся последовательностей (причём, в общем случае, из действительных же чисел), то это, конечно, уже не очевидно.
Я вообще сомневаюсь, что могла бы быть цивилизация в которой не возникла бы позиционная форма записи.
Это слишком удобно чтобы можно было пройти мимо и не заметить.
Как компьютеры то делать на битах? Ну просто же нереально не попытаться разложить числа на цифры придав им порядок.
Sbtrn. Devil
> А как ты в ней будешь записывать дроби?
I/II - I/III = I/IIIIII
А вот как вещественные записывать я не очень понимаю, но конечно если такой способ придумать то и диагональный метод можно будет к нему адаптировать.
kipar
> А вот как вещественные записывать я не очень понимаю,
Так я же выше уже сказал - как ряд
Ц1/1+Ц2/10+Ц3/100+...
Где Цi это либо DEC 1 либо 1, либо INC 1, либо.... до INC INC INC INC INC INC INC INC 1.
Ну а знаменатели даже с нулём не испытывают трудностей.
Кстати да, чтобы в унарной системе в 0 залезть надо всё-таки изобретать второй символ который "тянет" в отрицательную сторону.
Можно просто не вертикальной, а горизонтальной чертой. |- это 0, а - это уже -1 и т.п.
И тут уже удобство графическое - совмещённые | и - это же +, то бишь крест в унарной системе - это естественный ноль.
Что так же совпадает с декартовой сеткой где в пересечении осей тоже находится O.
Начало начал.
Господи Иисусе...
kipar
> А вот как вещественные записывать я не очень понимаю
Точно так же, через операцию или набор операций. Ведь в позиционной системе с натуральным основанием исключительно цифрами записываются только натуральные и ноль. Даже отрицательные - это по сути запись через операцию вычитания из неявного нуля. В симметричных (а-ля Сетунь) и с отрицательным целым - можно только числом записать любые целые.
А вот уже рациональные - даже в позиционных только числом записать возможно не любую дробь. Потому что даже периодическая бесконечная дробь - это уже не просто число, а число с некоторой операцией "период".
То же самое и для алгебраических вещественных - с операцией взятия корня. Только корень надо рассматривать не как знак радикала от числа, а более обобщенно - как операция взятия корня многочлена. Тогда можно будет точно обозначить даже корни многочленов выше четвертой степени - вот этой самой операцией "N-й корень многочлена" (тогда как простые радикалы - это просто частный случай для самого последнего/большого корня многочлена вида "x^N - A")
Для трансцендентных (тех, что можно указать) - через операцию взятия предела, через тригонометрические функции или показательную функцию.
Это как раз и есть "точные обозначения чисел", тогда как запись только через цифры может быть только рациональным приближением.
Поэтому не вижу никаких проблем, что запись числа в унарной системе точно также будет содержать еще и операции.
kipar
> А вот как вещественные записывать я не очень понимаю
Как бесконечный ряд дробей (например, двоичных), как и сказали выше. Проблема только в том, что там бесконечный и непериодический ряд числителей, который невозможно задать никакой формулой, а значит и формулу предела написать невозможно.
Но все то же самое верно и для позиционной системы - там бесконечный и непериодический ряд цифр, который и вызывает у меня подгорание - его принципиально невозможно записать в общем случае никак, и даже соответствующее ему число невозможно обозначить конечной последовательностью операций (даже с операцией "взятия предела", потому что невозможно записать формулу члена последовательности).