- Sbtrn. Devil
- Постоялец
kipar
> I/II - I/III = I/IIIIII
А в 1-ичной форме?
Dmitry_Milk
> его принципиально невозможно записать в общем случае никак, и даже соответствующее ему число невозможно обозначить конечной последовательностью операций (даже с операцией "взятия предела", потому что невозможно записать формулу члена последовательности).
Прикол в том, что "в общем случае" не означает, что нельзя "в каждом случае по отдельности" (индивидуально для конкретного случая). И "невозможно обозначить" можно понимать как, своего рода, форвард-ссылку на операцию, которой можно-таки обозначить, но она ещё не введена в рассмотрение (и, в принципе, некоторую часть рассуждений можно провести и без её явного введения).
=A=L=X=
> Формальная арифметика сформулирована по сути в унарной системе - что есть число 1 и есть число следующее за любым другим числом - с этого разворачивается вся арифметика. Т.е. формально число 4 это Inc Inc Inc 1. Все эти десятичные способы записи с точкой - это просто краткая запись которую можно размотать в Inc, 1 и прочие операции которые мы изобретали для краткости. Поэтому не туда копаешь. :)
Только поправка — в большинстве систем стартуют не с единицы, а с нуля. 1 — это уже Inc 0. В качестве примеров можешь погуглить "von Neumann ordinals" и "Church numerals".
В принципе, в академической математике, мне кажется — в понятие "натуральные" включается в том числе и ноль чаще, чем не включается; в отличие от школьной математики где учат что "натуральные начинаются с единицы".
Sbtrn. Devil
> А без готовых логарифма и экспоненты ты его не построишь, не задействуя рядов.
А его и не надо строить. Как я уже говорил много раз, математика — она не про построения, а про свойства. Для возникновения решения достаточно только доказать, что оно существует и уникально.
Например, решение задачи трёх тел — не имеет аналитической формы, но при этом оно безусловно существует и мы можем посчитать его с произвольной точностью.
Имбирная Ведьмочка
> Только поправка — в большинстве систем стартуют не с единицы, а с нуля.
Ну да на вики просто про Пеано описано с единицей, я полагаю что в большинстве учебников тоже, хотя про то, что есть предпочтения выбирать за точку опоры 0 и я с этим всей душой согласен тоже - взять тот же классический факториал - аргументом напрашивается натуральное, но для 0 он вполне себе определен, а вот для отрицательных целых напротив - никак, там деление на ноль. Поэтому с натуральными включающими 0 было бы логичнее.
Sbtrn. Devil
> А в 1-ичной форме?
А можно и без нее, математику на натуральных дробях строить.
Sbtrn. Devil
> Прикол в том, что "в общем случае" не означает, что нельзя "в каждом случае по отдельности" (индивидуально для конкретного случая).
Всех тех случаев, которые "можно в каждом случае по отдельности" - их счетное множество, даже включая те еще не включенные, для которых еще не ввели операцию. Ты ж сам это чуть раньше написал.
Имбирная Ведьмочка
> Только поправка — в большинстве систем стартуют не с единицы, а с нуля.
Это тлетворное западное влияние. В скрепной российской традиции натуральные числа начинаются с единицы
Dmitry_Milk
Несмотря на кажущуюся бессмысленность
чисел, удобнее считать что они есть.
Имбирная Ведьмочка
> Для возникновения решения достаточно только доказать, что оно существует и уникально.
А для x'=x это можно доказать без построения?
Dmitry_Milk
> Всех тех случаев, которые "можно в каждом случае по отдельности" - их счетное множество, даже включая те еще не включенные, для которых еще не ввели операцию. Ты ж сам это чуть раньше написал.
Не, я не про это писал. Тех, "которые можно по отдельности" - это именно что всё множество. Те, которые мы уже - тех да, только счётное (даже конечное). Но из оставшихся ни для одного нельзя доказать, что мы не ткнём в него следующим же шагом. Собственно, сама постановка вопроса о наличии такого элемента - уже наполовину тычок.
Тут как с натуральными числами. На любом шаге любого алгоритма по их перечислению всегда будет оставаться счётное множество тех, которые мы ещё не перечислили, но при этом для любого сколь угодно большого числа можно ввести операцию, с помощью которой оно предъявится на следующем же шаге.
Вот и на ютубе тоже недовольство :)
Sbtrn. Devil
> Но из оставшихся ни для одного нельзя доказать, что мы не ткнём в него следующим же шагом
Это лишь обозначает расширение поля. Но расширение поля вовсе не эквивалентно повышению кардинального числа.
Dmitry_Milk
> Это лишь обозначает расширение поля.
А нам не надо ничего повышать - достаточно, чтобы можно было ткнуть в любой элемент, именно как в элемент исследуемого множества.
Dmitry_Milk
> Вот и на ютубе тоже недовольство :)
Прикольно конечно, что она вообще узнала про финитистов, но в видео она ничего толком не объяснила.
Те ультрафинитисты которые отрицают сверхбольшие числа они всё-таки не про чистую теорию, а про что-то на практике.
И очень легко эту практику возвести в сколь угодно большой теоретический предел. Например начать рассуждать про все возможные варианты вселенной - число атомов начинает возводится в степени и 10^100 уже не кажется сильно уж большим каким то пределом.
Поэтому вопрос тут исключительно философский - если есть некий Universe Engine который исполняет нашу вселенную, то в нём нет нигде того что можно было бы интерпретировать как 10^100 - вот что-то такое ультрафинитисты утверждают. И лично я всецело разделяю такую философскую позицию.
Главный же постулат финитистов в целом не про то что есть какие то недостижимые числа, а лишь про то, что нужно выгнать актуальную бесконечность из всех рассуждений.
