Математическая модель игры Доббль

Автор: Skyblade

В статье рассказывается о математической модели настольной игры Доббль и приводятся ответы на вопросы:

Почему между любыми двумя карточками ровно одно совпадение?
Как построить набор символов для игры?
Каких карточек не хватает в комплекте игры?

Уровни сложности чтения
Введение и правила игры
Как они это делают?
Конечная геометрия для грудничков
При чём тут карточки?
Проективные плоскости малых порядков
Как построить проективную плоскость?
Матрицы инцидентности
Построение проективной плоскости перебором
Матрица инцидентности для игры Доббль
Каких двух карточек не хватает в комплекте игры?
Почему в игре на 2 карточки меньше максимально возможного количества?
Благодарности

Уровни сложности чтения

Я слишком молод, чтобы думать

Сделай мне умно

Кошмар

Введение и правила игры

Несколько лет назад я купил игру Доббль (Dobble, оригинальное название “Spot It!”). Это очень простая, быстрая и весёлая игра, которую я считаю одной из лучших настольных игр вообще.
В комплекте игры 55 карточек с 8 разными символами на каждой. Вот как выглядят эти карточки:

1 | Математическая модель игры Доббль
Рис. 1. Пример карточек игры.

На каждых двух карточках совпадает один и только один символ. На приведённом рисунке это символ карандаша:

1 | Математическая модель игры Доббль
Рис. 2. Совпадающие символы на карточках.

Игрок, первый увидевший совпадение, делает с одной из карточек действие, зависящее от тура игры. Например, забирает её себе или подкидывает сопернику.
Часто это приводит к тому, что одна из карточек, для которой игроки ищут совпадения, меняется. Из-за этого приходится искать новое совпадение, которое может быть совсем другим символом:

1 | Математическая модель игры Доббль

Рис. 3, 4. Первая карточка заменяется на новую. Теперь между ними новое совпадение - символ клоуна.

Как они это делают?

На первый взгляд, кажется невероятным, что на двух карточках ровно одно совпадение, ни больше, ни меньше. Сразу возникают вопросы - сколько всего символов в игре? Их не может быть слишком мало (тогда на карточках будет больше одного совпадения) или слишком много (тогда на карточках может вообще не оказаться совпадений).
Кроме того, очевидно, что символы расположены на карточках в особом порядке, который гарантирует единственное совпадение для любых двух карточек.

Элементарные навыки гугл-фу приводят нас на сайт stackoverflow, где описано, почему так происходит: http://stackoverflow.com/questions/6240113/what-are-the-mathemati… ind-this-game

В игре используются принципы конечной геометрии. Хотя в этом словосочетании есть слово “геометрия”, это понятие относится больше к комбинаторике, чем к геометрии. Она оперирует конечным количеством точек, которые могут располагаться, в частности, в виде проективной плоскости.

Карточки и символы в игре являются элементами проективной плоскости 7 порядка. Это значит, что на каждой карточке \(n+1\) символ, а общее количество уникальных символов в игре - \(n^2+n+1\), т.е. 57 символов.

Существуют плоскости как более низких, так и более высоких порядков. Например, существует плоскость 5 порядка. Для неё на карточке изображены 6 символов, а общее количество уникальных символов в игре - \(5^2+5+1 = 31\). Проективная плоскость такой конфигурации используется в более простом варианте игры Доббль под названием “Доббль 1,2,3”.

Связь между точками и линиями для проективной плоскости задаётся при помощи матрицы инцидентности. Её вид представлен в разделе “Матрица инцидентности для игры Доббль”.

Страницы: 1 2 3 4 5 Следующая »

#геймдизайн, #Доббль

5 мая 2017 (Обновление: 18 янв 2019)

Комментарии [3]