Математическая модель игры Доббль (3 стр)
Автор: Skyblade
При чём тут карточки?
Что будет, если мы переформулируем 2 аксиомы конечной геометрии, заменив “прямую” на “символ” и “точку” на “карточку”?
Получится вот что:
- Для двух различных карточек существует только один символ, который изображён на обеих карточках.
- Для двух различных символов существует только одна карточка, которая содержит оба этих символа.
Теперь на основе этих знаний посмотрим, как выглядел бы Доббль в простейшем случае. В нём было бы 7 карточек и 7 символов, на каждой карточке было бы по 3 символа (т.к. в одной точке пересекаются 3 прямые):
Рис. 10. Пример минимально возможного набора карточек для Доббля.
Тут используются следующие 7 символов: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Какие бы 2 карточки мы ни взяли, они будут иметь общий символ, изображённый рядом с прямой, на которой лежат обе карточки.
Например, у карточки в левом нижнем углу и карточки в середине правой грани общий символ . Он изображён рядом с прямой 
.
Проективные плоскости малых порядков
На сайте Wolfram можно найти визуальную демонстрацию проективных плоскостей малых порядков: http://demonstrations.wolfram.com/ProjectivePlanesOfLowOrder/
Она оформлена в виде документа в формате CDF (Computable Document Format), для которого нужно установить CDF Player.
Вот пример проективной плоскости 3 порядка:
Рис. 11. Изображение проективной плоскости 3 порядка.
Трудно понять, что происходит, поэтому возьмём 2 произвольные прямые:
Рис. 12. Пересечение двух линий проективной плоскости 3 порядка.
Как мы видим, они пересекаются ровно в одной точке. Сами линии содержат по 4 точки.
Чтобы убедиться, что через каждую точку проходит 4 прямые, придётся переключать отображаемые пары прямых в интерактивном документе и сосредоточить внимание на какой-то точке.
Проективные плоскости более высоких порядков изображены на рисунках ниже.
Рис. 13. Проективные плоскости порядка 4, 5 и 7.
В приведённой последовательности отсутствует изображение для проективной плоскости 6 порядка. Это не ошибка.
Хотя Wolfram генерирует графическое представление такой структуры, она не удовлетворяет аксиомам проективной геометрии, и не является проективной плоскостью.
Предполагается, но до сих пор не доказано, что порядок конечной плоскости всегда является степенью простого числа. [1]
5 мая 2017 (Обновление: 18 янв 2019)
Комментарии [4]