Войти
КешаСтатьи

GJK

Автор:

На данный момент самый распространенный алгоритм для определения столкновений между многогранниками. Реализован в Havok, Dtecta, bullet.  Имеет много различных реализаций и модификаций. В данной статье будут описаны базовые понятия и реализованы GJK(алгоритм для нахождения ближайших точек) для 2d случая.

Попытаюсь объяснить с примерами и кодом.

Теория

Определение столкновений в реальном времени.
Задача: определить ближайшие точки между двумя многогранниками, расстояние между ними (если многогранники пересекаются - глубину проникновения).
Вход: вершины многогранника A и B.
Выход: контакт - ближайшие точки, расстояние.

GJK

Пару важных понятий, на которых основан алгоритм:

Сума Минковского

Сума Минковского  двух множеств A и B в Евклидовом пространстве это результат сложения каждого элемента A с каждым элементом B:
A+B={a+b | a принадлежит A, b принадлежит B}.
A-B={a+(-b) | a принадлежит A, b принадлежит B}.

Пример:
A={(-3,1), (-3,2), (-1,1)} и B={(0,0), (2,0), (0,2),(2,2)},
тогда A+B ={(-3,1),(-3,4),(-1,4),(1,3),(1,1)}

A={(0,2), (0,3), (2,2)} и B={(1,1), (3,1), (3,4),(1,4)},
тогда A-B ={(-1,-1),(-1,2),(3,2),(3,-2),(1,-2)}

Важной особенностью является то, что разница Минковского будет содержать всегда точку O(0,0), если множества пересекаются (на рисунке внизу случай, когда многогранники пересекаются, справа результат разницы Минковского).

Вот апплет который лучше всяких рисунков:
http://www.pfirth.co.uk/minkowski.html

Симплекс

Симплекс это выпуклая оболочка d+1 афиннонезависимых точек в d пространстве.
Например:
0-симплекс – точка
1-симплекс – прямая
2-симплекс – треугольник
3-симплекс – тетраэдр

http://ru.wikipedia.org/wiki/Симплекс

Алгоритм

В основе алгоритм GJK лежит тот факт, что два многогранника пересекаются только в том случае, если их разница Минковского C = A-B содержит начало системы координат (точку O(0,0), если какие – то два многогранника A и B разделяют одну точку (ai = bi), то их разница Минковского будет равна O, т.е. pi = ai – bi = O по определению). Поэтому проблема сокращается до нахождения ближайшей точки на C (выпуклом многограннике, полученном в результате разницы Минковского A и B) к O(началу системы координат). Сложность нахождения разницы Минковского равна O(m+n), но особенностью GJK является как раз то, что GJK не вычисляет в явном виде разницу Минковского, а только находит точку pi = ai-bi как краевую (экстремальную, максимальную) в заданном направлении, что совпадает с точкой из разницы Минковского посчитанной в явном виде.

Например, для круга с центром в C и радиусом R, в направлении dir краевая точка находится как p = C + R * dir

gjk1 | GJK

Для многогранника эта функция задается как

p = max{dot(v[i],dir)}
, где vi - вершины многогранника,i = 1,2,…N.
В общем виде для всех фигур:
p = support( dir );

Тогда краевая вершина на многограннике C будет находиться как A.support( dir ) - B.support( -dir )

Имеет смысл для каждой фигуры задавать свою support функцию.
Выделим абстрактный базовый класс Convex.

class  Convex
{
public:
  virtual ~Convex(){};
  virtual vec2f  support( const vec2f& dir ) = 0;
};

Для круга:

class  Circle : public Convex
{
public:
  vec2f C;
  float R;

  Circle( const vec2f& _C, float _R )
    : C( _C)
    , R( _R)
  {}

  vec2f  support( const vec2f& normal )
  {
    return C + dir * R;
  }
};

Для многогранника:

class Polygon : public Convex
{
public:
  Polygon()
  {
  }

  void addVert(float x, float y)
  {
    verts.push_back( vec2f(x,y) );
  }

  vec2f  support( const vec2f& normal )
  {
    float max = dot( verts[0], normal );
    int index = 0;

    for( size_t i = 1; i < verts.size(); i++ )
    {
      float dot = dot( verts[i], normal );
      if( dot > max )
      {
        max = dot;
        index = i;
      }
    }

    return verts[index];
  }
private:

std::vector<vec2f> verts;
};

Чтобы найти разницу Минковского C для точки ближайшей к O, GJK использует следующую теорему: Для выпуклого многогранника H, каждая точка из H может быть выражена как выпуклая комбинация не более чем d+1 точкой из H. Это позволяет GJK алгоритму искать объем разницы Минковского обновлением множества Q до d+1 точки из C на каждой итерации. Выпуклая оболочка Q формирует симплекс внутри C. Если O содержится в текущем симплексе, то алгоритм прекращает свою работу, иначе Q обновляется, формируя новый симплекс, который гарантированно будет содержать точки ближе к O, чем предыдущий симплекс. В итоге процесс остановится с Q, содержащим ближайшие точки к O.

Общая схема алгоритма:
1. Инициализируем симплекс Q d+1 точками из разницы Минковского A и B.
2. Находим ближайшую точку P от симплекса Q к O. Симплекс Q может быть точкой, прямой, треугольником или тетраэдром. Как в данном случае искать ближайшую точку до d-симплекса, будет рассказано далее.
3. Если P и есть начало координат, то начало координат содержится в разнице Минковского A и B. Останавливаемся и возвращаем, что A и B пересекаются.
4. Уменьшаем Q до подмножества Q', такого, что P принадлежит Q'. Это делается для того, что бы ни учитывать точки, которые заведомо дальше.
5. Пусть V = A.support( P ) - B.support( -P ) будет экстремальной точкой в направлении P.
6. Если нет точек "более экстремальных" в направлении P, тогда возвращаем, что A и B не пересекаются.  Длина вектора от начала координат к P это разделяющее расстояние от A до B.
7. Добавляем V в Q и переходим на шаг 2.

Пример:

1. Инициализируем симплекс Q d+1 точками из разницы Минковского A и B. Поскольку рассматриваем 2d случай, то d = 2, т.е. добавляем 3 точки – Q1, Q2, Q3.
gjk2 | GJK

2. Находим ближайшую точку P от симплекса Q к O. Симплекс Q может быть точкой, прямой, треугольником или тетраэдром. Как в данном случае искать ближайшую точку до d-симплекса, будет рассказано далее.

3. Если P и есть начало координат, то начало координат содержится в разнице Минковского A и B. Останавливаемся и возвращаем, что A и B пересекаются.
4. Уменьшаем Q до подмножества Q', такого, что P принадлежит Q'. Это делается для того, что бы ни обрабатывать точки, которые заведомо дальше от O. На рисунке это точка Q0.
gjk3 | GJK

5. Пусть V = A.support( P ) - B.support( -P ) будет экстремальной точкой в направлении P.
Capture2 | GJK

6. Если V не является самой экстремальной точкой в направлении P, тогда возвращаем, что A и B не пересекаются.  Длина вектора от начала координат к P это разделяющее расстояние от A до B.

7. Добавляем V в Q и переходим на шаг 2.

Шаг 2. Находим ближайшую точку от O к треугольнику (Q1, V, Q2).
Capture3 | GJK

Шаг 3, 4. Поскольку только через Q2 и V можно выразить P как выпуклую комбинацию вершин в Q, то Q = {Q2,V}. Или другими словами, проекция P на VQ1 будет за пределами VQ1, поэтому Q1 и убираем.
Capture4 | GJK

Шаг 5. Экстремальная вершина в направлении P даст Q2
Capture5 | GJK

Шаг 6. Поскольку не существует больше экстремальных вершин в данном направлении, то P есть ближайшая точка к O, а вершины многогранников A, B являются ближайшими точками.
Capture6 | GJK

Осталось описать, как находить ближайшую точку к d-симплексу. Тут может быть 3 случая:
1. точка O и линия.
x нормален к p0p1, если x(p1-p0) = 0. Подставляем x = lambda0p0 + lambda1p1, причем lambda0+lambda1 = 1, и больше 0.
Получаем систему:  решая которую получаем точку P.
2. точка 0 и треугольник.
  Аналогично. Только каждое ребро выражаем через случай 1. Необходимо рассмотреть 2 линии.
3. точка 0 и тетраэдр.
  В этом случае выражаем через случай 2. Необходимо рассмотреть 4 треугольника.

Псевдокод:

void gjk(A,B)
{
  V = any point in A – B;
  W = empty;

  while (v == 0)
  {
    w = A.support(dir) – B.support(-dir);
    V = closest_point(conv(W U {w}));
  }

  return ||v||;
}

#collision detection, #gjk

17 апреля 2013 (Обновление: 18 июня 2013)

Комментарии [3]